Svolgimento limite di successione

[giupar93]

Ragazzi, Buon giorno a tutti. Ho un problema con questo limite:

$ lim_(n->oo) (3^n n^n)/((4n)!) $

qualsiasi modo la manipolo, mi riconduco sempre alla forma indeterminata $oo*0$

Qualcuno può darmi una mano?

Grazie mille

[mazzarri1]

Non vorrei dire una cavolata ma... $n^n$ è infinito di ordine superiore a $n!$... il limite dovrebbe essere $infty$ per definizione

[francicko]

×@mazzarri.
Giusto, $n^n $ ad infinito cresce più velocemente di $n! $ quindi
Il limite volge ad $infty $

[marco.ceccarelli]

Wolfram Alpha dà $0$.

[giupar93]

Si infatti..Wolfram alfa dà 0 come risultato, come posso risolvere? _-_

[francicko]

Sì scusa avevo letto $lim_(n->infty)(n^n)/ (4n!)=infty $, mentre il fattoriale qui e' fuori la parentesi!

[giupar93]

@Francicko quindi? Come è possibile risolverlo?

[donald_zeka]

$3^n*n^n=(3n)^n=3n*3n*3n*3n*...*3n$

$(4n!)=4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)*...(3n+1)(3n)(3n-1)*....2*1$

Come vedi i primi n termini di (4n)! sono maggiori degli n termini di $(3n)^n$, da cui segue:

$0<=(3n)^n/((4n)!)<=1/((3n)!)$, da cui per confronto...

[giupar93]

@Vulplasir grazie per la tua risposta, ma non riesco a capire come hai decomposto il denominatore, precisamente non riesco a capire questo
$ ..(3n+1)(3n)(3n-1)*....2*1 $

grazie mille

[donald_zeka]

E' il fattoriale di 4n: $4n(4n-1)(4n-2)...(4n-(n-1))(4n-(n))(4n-(n+1)(4n-(n+2))$...etcetera, Ma $4n-(n-1)=3n+1$, e $4n-(n)=3n$ e così via.

[giupar93]

@Vulplasir grazie mille..adesso ho capito

[francicko]

x@Vulplasir
Ho capito anche io.
Ottima spiegazione! Grazie!