Svolgimento integrale

[square80]

Salve! Stavo cercando di risolvere l'integrale nella figura in basso, ma sto avendo un pò di difficoltà(nonostante in cerca di formule e altro). Qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione? Grazie

[gugo82]

Così, ad occhio, ti direi che l'integrale ha senso solo se lo consideri come valore principale di Cauchy: infatti, visto che $e^(-2pi f t i)=cos(2pi f t)-i sin(2pi f t)$, trovi:

$\int_(-oo)^(+oo) e^(2pi f t i)/(pi t)" d"t=\int_(-oo)^(+oo)\{(cos(2pi f t))/(pi t)-i (sin(2pi f t))/(pi t)\}" d"t=-2i*\int_0^(+oo) (sin 2pi f t)/(pi t)" d"t$

con gli integrali a secondo e terzo membro presi a valor principale (l'integrale del "pezzo" col coseno è nullo perchè l'integrando è dispari, mentre quello del "pezzo" col seno è pari a due volte il v.p. di $\int_0^(+oo)(sin 2pi f t)/(pi t)" d"t$).

Di più non so... Forse passa qualcuno più esperto di me in Analisi Complessa e ti sa dire meglio.

Comunque sospetto che quasto integrale abbia a che fare con qualche trasformata (Fourier?) e che si possa risolvere molto velocemente.

[square80]

Complimenti, hai capito l'argomento. Questo integrale fa parte del corso di (Comunicazioni Elettriche). Mi scuso perchè mi son scordato di dire che il risultato di questo integrale è [sgn(f)]/j e volevo capire come uscisse questo risultato. Grazie comunque per la spiegazione data.

[Ska1]

È un integrale che si risolve con il teorema dei residui. La funzione integranda ha un polo del primo ordine nel punto $0$, inoltre $f$ è un parametro rispetto all'integrale quindi bisogna considerare due cammini complessi di integrazione differenti a seconda che $f$ sia positivo o negativo. Nel primo caso bisogna considerare un cammino che comprende l'asse reale, eccetto un intorno di $0$, una semicirconferenza di raggio $\epsilon$ la parte inferiore, e una riconferenza di raggio $R\rightarrow \infty$ sempre parte inferiore entrambe centrate in zero. Dunque per il teorema dei residui con $f>0$ si ha che l'integrale vale $-\pi i Res(f,0) = -i$.

Con $f < 0$, invece il cammino di integrazione è il simmetrico rispetto l'asse reale, da cui per il teorema dei residui l'integrale vale $\pi i Res(f,0) = i$.

Quindi globalmente l'integrale vale ${(-i,f>0),(i,f<0):} = (sign(f))/i$

[square80]

Ti Ringrazio Ska per i chiarimenti dati.