Svolgimento di un limite x->inf con un limite notevole
Inanzitutto complimenti per il forum. Vi seguo da diverso tempo, ma questa è la prima volta che posto un quesito.
Sto cercando di capire la risoluzione di questo esercizio:
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( {2x + 1} \over {2x + 3} \right)^{4x + 1} \)
Ho trasformato la funzione come segue
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1 - {{2} \over {2x + 3}} \right)^{4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 - {{2} \over {2x + 3}} \right)^{-{{2} \over {2x + 3}}{{2x + 3} \over {2}}(-4x - 1)} \)
In modo da poter utilizzare il limite notevole nella forma \(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab} \! \)
A questo punto avrei semplicemente sostituito il risultato del limite nella funzione e fatto il limite delle altre parti, se non fosse che il risultato ottenuto diverge da quello del libro (\(\displaystyle e^{-4} \)). Potete spiegarmi come arrivare alla soluzione dell'esercizio?
Vi chiedo di essere comprensivi nei miei confronti, visto che mi sto avvicinando per la prima volta a questa materia.
Sto cercando di capire la risoluzione di questo esercizio:
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( {2x + 1} \over {2x + 3} \right)^{4x + 1} \)
Ho trasformato la funzione come segue
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1 - {{2} \over {2x + 3}} \right)^{4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 - {{2} \over {2x + 3}} \right)^{-{{2} \over {2x + 3}}{{2x + 3} \over {2}}(-4x - 1)} \)
In modo da poter utilizzare il limite notevole nella forma \(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab} \! \)
A questo punto avrei semplicemente sostituito il risultato del limite nella funzione e fatto il limite delle altre parti, se non fosse che il risultato ottenuto diverge da quello del libro (\(\displaystyle e^{-4} \)). Potete spiegarmi come arrivare alla soluzione dell'esercizio?
Vi chiedo di essere comprensivi nei miei confronti, visto che mi sto avvicinando per la prima volta a questa materia.
Risposte
Quando operi la trasformazione che hai detto, il limite si riscrive in questa forma
$\lim_{x\to+\infty}[(1-2/{2x+3})^{-{2x+3}/2}]^{-{2(4x+1)}/{2x+3}}$
Tra parentesi quadre hai il limite notevole che vale $e$; l'esponente esterno ha invece come limite $-4$. Il risultato è pertanto $e^{-4}$. Lascia perdere le "formule" e ragionaci su, la prossima volta.
$\lim_{x\to+\infty}[(1-2/{2x+3})^{-{2x+3}/2}]^{-{2(4x+1)}/{2x+3}}$
Tra parentesi quadre hai il limite notevole che vale $e$; l'esponente esterno ha invece come limite $-4$. Il risultato è pertanto $e^{-4}$. Lascia perdere le "formule" e ragionaci su, la prossima volta.
Molto gentile. Cercherò di seguire il suo consiglio..
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