Svolgere limite secondo la definizione

[sssebi]

Salve ragazzi, non ne riesco proprio a venirne fuori... il punto è il seguente:

Devo provare che fissato un $eps$ maggiore di zero, risulta $|(x^4-y^2)/(x^2+y^2)| sapendo che $sqrt(x^2+y^2)
In pratica è da mezza giornata che sto cercando un modo per portare la prima disequazione attraverso varie minorazioni ad una costante che posso porre uguale a eps, ma non riesco ad eliminare le incognite... un aiutino? :/

[Lorin1]

Forse sbagli ad interpretare la definizione di limite.
Tu non devi partire da $sqrt(x^2+y^2)<\delta$ ma devi partire da $|(x^4-y^4)/(x^2+y^2)|<\epsilon$ e trovare il $\delta$. Perchè se ripeti la definizione di limite ti accorgerai che dice: $AA\epsilon>0, EE\delta>0$
dovresti interpretare meglio il ruolo dei due quantificatori...

[sssebi]

Ah sì certo, ho invertito il ruolo dei quantificatori...però partivo comunque da quella disequazione, non riesce a trovare il $delta$, sono passaggi troppo logici e non riesco ad individuare la strada giusta

[Lorin1]

Prova a vedere quella quantità in valore assoluto così $|x^4/(x^2+y^2)-y^2/(x^2+y^2)|$ e applica la disuguaglianza triangolare e poi fai qualche maggiorazione su ogni membro della disuguaglianza...

[totissimus]

Sei sicuro di avere scritto correttamente il testo dell'esercizio ?

[mathbells]

Sono d'accordo con totissimus. Dal testo dell'esercizio mi pare di capire che bisogna dimostrare che quella funzione tende a zero per \(\displaystyle (x,y)\rightarrow 0 \). Se l'esponente della y al numeratore è 2, il limite non è zero, come si può verificare ipotizzando di avvicinarsi a zero muovendosi lungo l'asse y (la funzione è identicamente pari ad 1).