Sviluppo taylor,strano - aiutatemi
Ecco l'esercizio, volevo sapere come potevo svolgerlo visto che nell'x0 assegnato la funzione non è definita
Risposte
Infatti tu non devi svilupparla nel punto $x_0=\pi/6$, ma in un suo intorno.
e come dovrei fare?
Ok vediamo come verrebbe:
$f(x)={sin(\pi/6)+cos(\pi/6)(x-\pi/6)-sin(\pi/6)(x-\pi/6)^2-cos(\pi/6)(x-\pi/6)^3-1/2+o(|x-\pi/6|^3)}/{x-\pi/6}={\sqrt{3}/2(x-\pi/6)-1/2(x-\pi/6)^2-\sqrt{3}/2(x-\pi/6)^3+o(|x-\pi/6|^3)}/{x-\pi/6}=\sqrt{3}/2(1-(x-\pi/6)^2)-1/2(x-\pi/6)+o(|x-\pi/6|^2)$
$f(x)={sin(\pi/6)+cos(\pi/6)(x-\pi/6)-sin(\pi/6)(x-\pi/6)^2-cos(\pi/6)(x-\pi/6)^3-1/2+o(|x-\pi/6|^3)}/{x-\pi/6}={\sqrt{3}/2(x-\pi/6)-1/2(x-\pi/6)^2-\sqrt{3}/2(x-\pi/6)^3+o(|x-\pi/6|^3)}/{x-\pi/6}=\sqrt{3}/2(1-(x-\pi/6)^2)-1/2(x-\pi/6)+o(|x-\pi/6|^2)$
praticamente non hai sostituito x0=((π6))
giusto?
giusto?
Praticamente si.
Grazie della risposta,ora ti volevo porre un altro quesito(visto che oggettivamente se veramente competente)
ecco il quesito:
ora il mio problema è che non capisco cosa sia e come si ricavi l'immagine(per trovare il dominio non ho problemi)
potresti aiutarmi sia teoricamente che praticamente?
grazie
ecco il quesito:
ora il mio problema è che non capisco cosa sia e come si ricavi l'immagine(per trovare il dominio non ho problemi)
potresti aiutarmi sia teoricamente che praticamente?
grazie
Non è mia intenzione rubare la scena a cavallipurosangue, ma siccome passavo da questa parti... 
Se $X$ ed $Y$ sono sottoinsiemi di un dato universo ed $f: X \rightarrow Y$ è una funzione, si pone $f(X) := \{f(x): x \in X\}$ e si dice che $f(X)$ è l'immagine di $X$ tramite $f$. Ovviamente $f(X) \subseteq Y$. Ora, il fatto è che - almeno in generale! - non esiste un modo algoritmico (leggi "meccanico") di determinare l'immagine. Bisogna semplicemente ingegnarsi, caso per caso... Certo è che, se $f$ è una funzione continua a valori reali definita su un compatto, allora $f(X)$ è esso stesso compatto, ovvero è un intervallo chiuso e limitato, se in $\mathbb{R}$ si adotta l'usuale topologia metrica. Nelle stesse condizioni, si ha poi che $f(X)$ è connesso, se $X$ è connesso. E allora $f(X)$ è un intervallo reale, ogni volta che $X$ è un intervallo reale.
Nel tuo caso specifico, si può assumere $X = \{x \in \mathbb{R}: log|x| > 0\} = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. E perciò $f(X) = f(]-\infty, -1[) \cup f(]1, +\infty[)$. Senonché $]-\infty, -1[$ e $]1, \infty[$ sono intervalli, ed $f$ è continua (rispetto alla solita topologia). Dunque $f(]1, \infty[) \subseteq ($inf$_{]1, \infty[} f, $sup$_{]1, \infty[} f)$, e bisogna a questo punto calcolare semplicemente il sup e l'inf della funzione nell'intervallo in questione e stabilire se l'uno o l'altro appartengono al suo range. A questo scopo, osserva che $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty =$ sup$_{]1, \infty[} f$ e che $f$ è monotona strettamente decrescente in $]1, +\infty[$, poiché composizione di una funzione monotona crescente (la radice) con una funzione monotona decrescente (l'inverso del logaritmo). Dunque inf$_{]1, \infty[} f = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Senonché $f > 0$ sul dominio. Dunque $f(]1, +\infty[) = ]0, +\infty[$. E poiché è pari, $]0, +\infty[ = f(X)$. FINE.
Se $X$ ed $Y$ sono sottoinsiemi di un dato universo ed $f: X \rightarrow Y$ è una funzione, si pone $f(X) := \{f(x): x \in X\}$ e si dice che $f(X)$ è l'immagine di $X$ tramite $f$. Ovviamente $f(X) \subseteq Y$. Ora, il fatto è che - almeno in generale! - non esiste un modo algoritmico (leggi "meccanico") di determinare l'immagine. Bisogna semplicemente ingegnarsi, caso per caso... Certo è che, se $f$ è una funzione continua a valori reali definita su un compatto, allora $f(X)$ è esso stesso compatto, ovvero è un intervallo chiuso e limitato, se in $\mathbb{R}$ si adotta l'usuale topologia metrica. Nelle stesse condizioni, si ha poi che $f(X)$ è connesso, se $X$ è connesso. E allora $f(X)$ è un intervallo reale, ogni volta che $X$ è un intervallo reale.Nel tuo caso specifico, si può assumere $X = \{x \in \mathbb{R}: log|x| > 0\} = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. E perciò $f(X) = f(]-\infty, -1[) \cup f(]1, +\infty[)$. Senonché $]-\infty, -1[$ e $]1, \infty[$ sono intervalli, ed $f$ è continua (rispetto alla solita topologia). Dunque $f(]1, \infty[) \subseteq ($inf$_{]1, \infty[} f, $sup$_{]1, \infty[} f)$, e bisogna a questo punto calcolare semplicemente il sup e l'inf della funzione nell'intervallo in questione e stabilire se l'uno o l'altro appartengono al suo range. A questo scopo, osserva che $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty =$ sup$_{]1, \infty[} f$ e che $f$ è monotona strettamente decrescente in $]1, +\infty[$, poiché composizione di una funzione monotona crescente (la radice) con una funzione monotona decrescente (l'inverso del logaritmo). Dunque inf$_{]1, \infty[} f = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Senonché $f > 0$ sul dominio. Dunque $f(]1, +\infty[) = ]0, +\infty[$. E poiché è pari, $]0, +\infty[ = f(X)$. FINE.
grazie della risposta 
ora inizio a capirci qualcosa
grazie
ora inizio a capirci qualcosa
grazie
una cosa ci sono altri modi per fare l'esercizio di taylor proposto sopra?
"timeout":
una cosa ci sono altri modi per fare l'esercizio di taylor proposto sopra?
Certo: porre $x-\pi/6 = y$ e riportarsi così agli sviluppi noti del seno e del coseno.
mi potresti postare l'esercizio svolto se ce la fai?
ovviamente solo se ce la fai
ovviamente solo se ce la fai
come devo fare?
Beh facendo quella sotituzione devi sviluppare la funzione ${sin(y+\pi/6)-1/2}/{y}$ in un intorno dello 0...
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