Sviluppo taylor $log(1+sinx)$
Buongiorno ragazzi! ho iniziato da poco a studiare taylor e benchè non mi risulti particolarmente complesso mi ha fatto sorgere qualche dubbio...
ad esempio ho il seguente esercizio :
Determinare il polinomio di taylor di ordine $n$ e centro $Xo$ della seguente funzione
$f(x)=log(1+sinx)$ con $n=4$ e $Xo=0$
dato $Xo=0$ il polinomio è in effetti di MacLaurin...quindi
$sin(x)$ = $1-1/6x^3+o(x^4)$
poi dato $log(1+y)$ con $y=sinx$ sostituisco ed ottengo $y-y^2/2$ (dallo sviluppo del logaritmo)
e quindi $(6x-3x^2-x^3+x^4)/2+o(x^4)$
è giusto che fermarsi a $o(x^4)$? cioè l'ordine $n=4$ è quello che deve comparire in $o(x^n)$? grazie
ad esempio ho il seguente esercizio :
Determinare il polinomio di taylor di ordine $n$ e centro $Xo$ della seguente funzione
$f(x)=log(1+sinx)$ con $n=4$ e $Xo=0$
dato $Xo=0$ il polinomio è in effetti di MacLaurin...quindi
$sin(x)$ = $1-1/6x^3+o(x^4)$
poi dato $log(1+y)$ con $y=sinx$ sostituisco ed ottengo $y-y^2/2$ (dallo sviluppo del logaritmo)
e quindi $(6x-3x^2-x^3+x^4)/2+o(x^4)$
è giusto che fermarsi a $o(x^4)$? cioè l'ordine $n=4$ è quello che deve comparire in $o(x^n)$? grazie
Risposte
Punto primo: $\sin x=x-x^3/6+o(x^4)$.
Punto secondo: dal momento che vuoi come potenza massima $n=4$, dovrai cercare tutti gli elementi nello sviluppo del logaritmo che danno tale potenza. Per cui per il logaritmo devi usare $\log(1+y)=y-y^2/2+y^3/3-y^4/4+o(y^4)$ dove $y=\sin x$ e, quando calcoli le potenze del binomio, scegliere solo quelle "utili" (cioè quelle che non eccedono il grado 4).
Punto secondo: dal momento che vuoi come potenza massima $n=4$, dovrai cercare tutti gli elementi nello sviluppo del logaritmo che danno tale potenza. Per cui per il logaritmo devi usare $\log(1+y)=y-y^2/2+y^3/3-y^4/4+o(y^4)$ dove $y=\sin x$ e, quando calcoli le potenze del binomio, scegliere solo quelle "utili" (cioè quelle che non eccedono il grado 4).
ecco cosa mi sfuggiva! grazie adesso ho capito
(l'errore di $sinx$ ho solo sbagliato a ricopiarlo eheh)
(l'errore di $sinx$ ho solo sbagliato a ricopiarlo eheh)
correggendo mi viene così
$((x-1/6x^3)-((x^2-1/3x^4)/2)+((x^3)/6)-((x^4)/24))+o(x^4)$
(nel secondo membro non conto un eventuale $1/36x^6$ e poi andando avanti non conto le potenze che sorpassano $x^4$...) è giusto così?
$((x-1/6x^3)-((x^2-1/3x^4)/2)+((x^3)/6)-((x^4)/24))+o(x^4)$
(nel secondo membro non conto un eventuale $1/36x^6$ e poi andando avanti non conto le potenze che sorpassano $x^4$...) è giusto così?
Guarda che il logaritmo non ha i fattoriali a denominatore!
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