Sviluppo serie Laurent
Salve a tutti, ho questo problema: data la funzione
$ z sin(1/z) $
il suo sviluppo in serie di Laurent e' :
$sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n z^(-2n)/((2n+1)!) $
Quindi, visto che la parte singolare ha infiniti termini, direi che
z = 0 e' una singolarita' essenziale.
Pero', il limite di f(z) esiste:
$ lim_(z -> 0) z sin(1/z) = 0 $
Questo invece mi porta a dire che 0 e' una singolarita' eliminabile.
Dove e' il problema?
Saluti
$ z sin(1/z) $
il suo sviluppo in serie di Laurent e' :
$sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n z^(-2n)/((2n+1)!) $
Quindi, visto che la parte singolare ha infiniti termini, direi che
z = 0 e' una singolarita' essenziale.
Pero', il limite di f(z) esiste:
$ lim_(z -> 0) z sin(1/z) = 0 $
Questo invece mi porta a dire che 0 e' una singolarita' eliminabile.
Dove e' il problema?
Saluti
Risposte
Mi pare che tu faccia confusione tra due diversi tipi di singolarita'.La funzione che
hai proposto ha una singolarita' eliminabile in $z=0$ ed una essenziale in $z=oo$.
Lo sviluppo di Laurent che hai scritto ritengo si riferisca a quest'ultima singolarita'.
hai proposto ha una singolarita' eliminabile in $z=0$ ed una essenziale in $z=oo$.
Lo sviluppo di Laurent che hai scritto ritengo si riferisca a quest'ultima singolarita'.
"archimede":
Mi pare che tu faccia confusione tra due diversi tipi di singolarita'.La funzione che
hai proposto ha una singolarita' eliminabile in $z=0$ ed una essenziale in $z=oo$.
Lo sviluppo di Laurent che hai scritto ritengo si riferisca a quest'ultima singolarita'.
Allora, sai dirmi come e' lo sviluppo in zero?
Grazie
Rispondo con una domanda:ma la funzione e' analitica in un intorno dello zero?
Osservando il grafico mi vengono forti dubbi.
Archimede.
Osservando il grafico mi vengono forti dubbi.
Archimede.
La funzione...
$f(z)=zsin(1/z)$ (1)
... ha per $z=0$ una singolarità essenziale, vale a dire il suo sviluppo in serie ha un numero infinito di contributi del tipo $a_(-i)/(z^i)$, con i=1,2,... In generale per una funzione di questo tipo nulla si può dire circa il valore da essa assunto nel punto $z=0$. Il dubbio da te sollevato invece è causato da un 'concetto errato' che ci si ostina a propinare a scuola: quello della codiddetta 'singolarità eliminabile'. Prova ad ipotizzare che nessuna funzione possiede un tal genere di singolarità in quanto non esistente e tutti i tuoi dubbi si risolveranno come per incanto...
cordiali saluti
lupo grigio
$f(z)=zsin(1/z)$ (1)
... ha per $z=0$ una singolarità essenziale, vale a dire il suo sviluppo in serie ha un numero infinito di contributi del tipo $a_(-i)/(z^i)$, con i=1,2,... In generale per una funzione di questo tipo nulla si può dire circa il valore da essa assunto nel punto $z=0$. Il dubbio da te sollevato invece è causato da un 'concetto errato' che ci si ostina a propinare a scuola: quello della codiddetta 'singolarità eliminabile'. Prova ad ipotizzare che nessuna funzione possiede un tal genere di singolarità in quanto non esistente e tutti i tuoi dubbi si risolveranno come per incanto...
cordiali saluti
lupo grigio
"lupo grigio":
La funzione...
$f(z)=zsin(1/z)$ (1)
... ha per $z=0$ una singolarità essenziale, vale a dire il suo sviluppo in serie ha un numero infinito di contributi del tipo $a_(-i)/(z^i)$, con i=1,2,... In generale per una funzione di questo tipo nulla si può dire circa il valore da essa assunto nel punto $z=0$.
Ok. Il fatto e' che sulle dispense che ho si dice che se il limite esiste, la singolarita' e' eliminabile (questo senza
altre condizioni). Probabilmente in questo caso il criterio non vale...
"lupo grigio":
Il dubbio da te sollevato invece è causato da un 'concetto errato' che ci si ostina a propinare a scuola: quello della codiddetta 'singolarità eliminabile'. Prova ad ipotizzare che nessuna funzione possiede un tal genere di singolarità in quanto non esistente e tutti i tuoi dubbi si risolveranno come per incanto...
Vorrei cercare di capire meglio cio' che dici. La funzione $ sin z / z $ non ha una singolarita' eliminabile in zero? Eppure non
e' definita in zero ...
Saluti
Allora... alla prima domanda è facile rispondere poichè lo stesso esempio da te portato contraddice l'affermazione [errata] che se il limite di $f(z)$ per $z->a$ esiste la funzione ha per $z=a$ una 'singolarità eliminabile'...
Per rispondere alla seconda domanda facciamo per prima cosa una premessa appropriata. Una generica funzione di variabile complessa z può, sotto condizioni assai ampie, essere sviluppata nell'intorno di un punto a del piano complesso in serie di Laurent...
$f(z)=sum_(i=-oo)^(+oo) a_i (z-a)^i$ (1)
Come si vede chiramente dalla (1) lo sviluppo di $f(z)$ può essere suddiviso in due parti. La parte che raggruppa tutti i contributi con i negativo è chimata parte principale, la rimanente parte, quella che raggruppa tutti i contributi con i non negativo è chiamata parte analitica. Se tutte le $a_i$ con indice negativo sono nulle, la funzione è analitica in tutto il suo dominio, vale a dire entro il cerchio in cui la serie (1) è convergente. Ciò premesso scriviamo lo sviluppo della funzione da te segnalata...
$f(z)= sin z/z= sum_(i=0)^(oo) (-1)^i z^(2i)/((2i+1)!)$=
=$1-1/6 z^2+1/120 z^4-...$ (2)
Dalla (2) appaiono del tutto evidenti due cose...
a) la funzione $f(z)=sin z/z$ è analitica per ogni valore di z e pertanto non ha singolarità di alcun tipo ... tanto meno 'eliminabili'...
b) la funzione $f(z)=sin z/z$ è univocamente definita in $z=0$. Ponendo nella (2) $z=0$ è immediato verificare che è $f(0)=1$
Morale della favola: la miglior cosa che si può fare delle 'singolarità eliminabili' è eliminarle una volta per tutte e non pensarci più. Certe volte la 'soluzione Auschwitz' è di gran lunga la migliore
Naturalmente guardati bene dal dire le cose che ho scritto in sede di esame... purtroppo nelle nostre università a chi intende discutere certi 'dogmi di fede' è riservato un triste destino...
cordiali saluti
lupo grigio
Per rispondere alla seconda domanda facciamo per prima cosa una premessa appropriata. Una generica funzione di variabile complessa z può, sotto condizioni assai ampie, essere sviluppata nell'intorno di un punto a del piano complesso in serie di Laurent...
$f(z)=sum_(i=-oo)^(+oo) a_i (z-a)^i$ (1)
Come si vede chiramente dalla (1) lo sviluppo di $f(z)$ può essere suddiviso in due parti. La parte che raggruppa tutti i contributi con i negativo è chimata parte principale, la rimanente parte, quella che raggruppa tutti i contributi con i non negativo è chiamata parte analitica. Se tutte le $a_i$ con indice negativo sono nulle, la funzione è analitica in tutto il suo dominio, vale a dire entro il cerchio in cui la serie (1) è convergente. Ciò premesso scriviamo lo sviluppo della funzione da te segnalata...
$f(z)= sin z/z= sum_(i=0)^(oo) (-1)^i z^(2i)/((2i+1)!)$=
=$1-1/6 z^2+1/120 z^4-...$ (2)
Dalla (2) appaiono del tutto evidenti due cose...
a) la funzione $f(z)=sin z/z$ è analitica per ogni valore di z e pertanto non ha singolarità di alcun tipo ... tanto meno 'eliminabili'...
b) la funzione $f(z)=sin z/z$ è univocamente definita in $z=0$. Ponendo nella (2) $z=0$ è immediato verificare che è $f(0)=1$
Morale della favola: la miglior cosa che si può fare delle 'singolarità eliminabili' è eliminarle una volta per tutte e non pensarci più. Certe volte la 'soluzione Auschwitz' è di gran lunga la migliore
Naturalmente guardati bene dal dire le cose che ho scritto in sede di esame... purtroppo nelle nostre università a chi intende discutere certi 'dogmi di fede' è riservato un triste destino...
cordiali saluti
lupo grigio
Ok, credo di aver capito, grazie mille! In effetti la tua spiegazione e' del tutto coerente; mi sembra invece che utilizzando le
singolarita' eliminabili si creino delle discrepanze (per esempio quella del limite).
Guarda, se ho passato lo scritto, venerdi' ho l'orale. Se mi chiedera' delle singolarita' eliminabili, esporro' la tua teoria e poi staremo a vedere
cosa mi dice !!!
(Ovviamente scherzo, diro' per filo e per segno quello che c'e' sulla dispensa).
singolarita' eliminabili si creino delle discrepanze (per esempio quella del limite).
"lupo grigio":
Naturalmente guardati bene dal dire le cose che ho scritto in sede di esame... purtroppo nelle nostre università a chi intende discutere certi 'dogmi di fede' è riservato un triste destino...
Guarda, se ho passato lo scritto, venerdi' ho l'orale. Se mi chiedera' delle singolarita' eliminabili, esporro' la tua teoria e poi staremo a vedere
cosa mi dice !!!
(Ovviamente scherzo, diro' per filo e per segno quello che c'e' sulla dispensa).
Ritengo la teoria di Lupo grigio del tutto soggettiva (ancorche' apprezzabile sul
piano concettuale) ma poco pratica. Tutti i testi di analisi che ho consultato
parlano di discontinuita' eliminabile e la cosa mi sembra del tutto ragionevole
nel 99,9999% dei casi.In effetti porre $f(a)=lim_(z->a)f(z)$ ,essendo $a$ un punto
dove $f(z)$ non e' definita ma con limite finito,non mi pare una cosa dell'altro mondo,
sebbene possa apparire un tantino artificiosa.
Se eliminassimo le discontinuita' eliminabili (lor signori scusino il bisticcio di parole)
che fine farebbero i vari software matematici che della rappresentazione grafica
delle funzioni hanno fatto il loro cavallo di battaglia?
Un dramma senza fine,come puo' immaginare l'amico Lupo grigio che pure,mi
pare,faccia abbondante uso di tali strumenti!!
Resta da vedere ,e questo a mio modo di vedere ma pronto a pagar pegno se
dovessi sbagliarmi,se la nostra ormai famosa funzione e' effettivamente sviluppabile
in serie di Laurent in un intorno di $z=0$.Mi sembra questo il nocciolo della questione,
dato che tale sviluppo non e' una mera formula da applicare in maniera automatica
ma richiedente invece precise condizioni.
Archimede.
piano concettuale) ma poco pratica. Tutti i testi di analisi che ho consultato
parlano di discontinuita' eliminabile e la cosa mi sembra del tutto ragionevole
nel 99,9999% dei casi.In effetti porre $f(a)=lim_(z->a)f(z)$ ,essendo $a$ un punto
dove $f(z)$ non e' definita ma con limite finito,non mi pare una cosa dell'altro mondo,
sebbene possa apparire un tantino artificiosa.
Se eliminassimo le discontinuita' eliminabili (lor signori scusino il bisticcio di parole)
che fine farebbero i vari software matematici che della rappresentazione grafica
delle funzioni hanno fatto il loro cavallo di battaglia?
Un dramma senza fine,come puo' immaginare l'amico Lupo grigio che pure,mi
pare,faccia abbondante uso di tali strumenti!!
Resta da vedere ,e questo a mio modo di vedere ma pronto a pagar pegno se
dovessi sbagliarmi,se la nostra ormai famosa funzione e' effettivamente sviluppabile
in serie di Laurent in un intorno di $z=0$.Mi sembra questo il nocciolo della questione,
dato che tale sviluppo non e' una mera formula da applicare in maniera automatica
ma richiedente invece precise condizioni.
Archimede.
cari amici
dal momento che la questione va avanti da molto tempo risponderò una volta per tutte al quesito circa il fatto che la funzione…
$f(z)=sinz/z $ (1)
… sia o no analitica su tutto il piano complesso e in particolare per $z=0$… sperando bene di non essere costretto a ripetere nuovamente la cosa…
Per fare questo procederò step by step e il primo step in particolare sarà dimostrare che è $f(0)=1$. Affinché non vi siano dubbi di sorta sulla correttezza della procedura per fare questo ricorrerò alla prima delle formule integrali di Cauchy, la quale recita testualmente…
Sia f(z) una funzione analitica entro una linea chiusa C ed a un qualunque punto interno a C. Allora…
$f(a)= 1/(2pij) int_C f(z)/(z-a) dz$ (2)
… dove l’integrale di linea è calcolato procedendo lungo C in senso antiorario
La formula (2) è veramente notevole, giacchè dalla conoscenza del valore assunto da f(z) sul contorno chiuso C è possibile risalire al valore di f(z) in ogni punto interno a C. Per divertirci un pochino proviamo a scegliere il percorso C rappresentato in figura…
… vale a dire la circonferenza di raggio unitario avente centro in (0,0). Su questo percorso andiamo a calcolare la (2) ponendo $f(z)=sin z/z$ e $a=0$, ossia proviamo a determinare il valore di $sin z/z$ per $z=0$ ricavandolo dai valori da essa assunti sul cerchio unitario, ossia per $z= e^(jw)$. Risulterà pertanto…
$f(0)= 1/(2 pi j) int_C sin z/(z^2) dz$ (3)
Procediamo alla sostituzione della variabile di integrazione e poniamo $z= e ^(jw)$. Sarà $dz= je^(jw) dw$ e così di arriva alla nuova formula…
$f(0)= 1/(2*pi) int_(-pi)^pi sin (e^(jw)) e^(-jw) dw (4)
Procediamo a questo punto sostituendo a $sin z$ [anch’essa ovviamente funzione analitica…] il suo sviluppo in serie…
$sin z = sum_(n=0)^(oo) (-1)^n z^(2n+1)/((2n+1)!) (5)
… per cui…
$sin (e^(jw))= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n e^(j(2n+1)w) / ((2n+1)!) (6)
Non resta a questo punto che sostituire tutto nella (4)…
$f(0)= 1/(2pi) sum_(n=0)^(oo) (-1)^n /((2n+1)!) int_(-pi)^pi e^(j2nw) dw$ (7)
Scrivendo l’integrale che compare nella [7] in modo da separare parte reale e immaginaria…
$int_(-pi)^(pi) e^(j2nw) dw = int_(-pi)^(pi) cos(2nw) dw + j int_(-pi)^(pi) sin (2nw) dw$ (8)
… si vede subito che l’integrale in ‘seno’ è sempre nullo e lo stesso per l’integrale in ‘coseno’… tranne in quest’ultimo caso che per n=0. Si avrà pertanto…
$f(0)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) dw = (2pi)/(2pi)= 1$ (9)
Però… chi avrebbe mai detto che $sin z/z$ per $z=0$ vale proprio 1!… Da notare che abbiamo considerato solo i valori di $f(z)=sin z/z$ sul cerchio con centro nell’origine e raggio =1, senza fare alcuna ipotesi sul fatto se essa fosse o no ‘definita’ all’interno di tale cerchio…
Credo proprio di poter affermare a questo punto che negare il risultato rappresentato nella (9) equivale a negare la validità della prima delle formule integrali di Cauchy… chi di voi se la sente?…
cordiali saluti
lupo grigio
dal momento che la questione va avanti da molto tempo risponderò una volta per tutte al quesito circa il fatto che la funzione…
$f(z)=sinz/z $ (1)
… sia o no analitica su tutto il piano complesso e in particolare per $z=0$… sperando bene di non essere costretto a ripetere nuovamente la cosa…
Per fare questo procederò step by step e il primo step in particolare sarà dimostrare che è $f(0)=1$. Affinché non vi siano dubbi di sorta sulla correttezza della procedura per fare questo ricorrerò alla prima delle formule integrali di Cauchy, la quale recita testualmente…
Sia f(z) una funzione analitica entro una linea chiusa C ed a un qualunque punto interno a C. Allora…
$f(a)= 1/(2pij) int_C f(z)/(z-a) dz$ (2)
… dove l’integrale di linea è calcolato procedendo lungo C in senso antiorario
La formula (2) è veramente notevole, giacchè dalla conoscenza del valore assunto da f(z) sul contorno chiuso C è possibile risalire al valore di f(z) in ogni punto interno a C. Per divertirci un pochino proviamo a scegliere il percorso C rappresentato in figura…
… vale a dire la circonferenza di raggio unitario avente centro in (0,0). Su questo percorso andiamo a calcolare la (2) ponendo $f(z)=sin z/z$ e $a=0$, ossia proviamo a determinare il valore di $sin z/z$ per $z=0$ ricavandolo dai valori da essa assunti sul cerchio unitario, ossia per $z= e^(jw)$. Risulterà pertanto…
$f(0)= 1/(2 pi j) int_C sin z/(z^2) dz$ (3)
Procediamo alla sostituzione della variabile di integrazione e poniamo $z= e ^(jw)$. Sarà $dz= je^(jw) dw$ e così di arriva alla nuova formula…
$f(0)= 1/(2*pi) int_(-pi)^pi sin (e^(jw)) e^(-jw) dw (4)
Procediamo a questo punto sostituendo a $sin z$ [anch’essa ovviamente funzione analitica…] il suo sviluppo in serie…
$sin z = sum_(n=0)^(oo) (-1)^n z^(2n+1)/((2n+1)!) (5)
… per cui…
$sin (e^(jw))= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n e^(j(2n+1)w) / ((2n+1)!) (6)
Non resta a questo punto che sostituire tutto nella (4)…
$f(0)= 1/(2pi) sum_(n=0)^(oo) (-1)^n /((2n+1)!) int_(-pi)^pi e^(j2nw) dw$ (7)
Scrivendo l’integrale che compare nella [7] in modo da separare parte reale e immaginaria…
$int_(-pi)^(pi) e^(j2nw) dw = int_(-pi)^(pi) cos(2nw) dw + j int_(-pi)^(pi) sin (2nw) dw$ (8)
… si vede subito che l’integrale in ‘seno’ è sempre nullo e lo stesso per l’integrale in ‘coseno’… tranne in quest’ultimo caso che per n=0. Si avrà pertanto…
$f(0)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) dw = (2pi)/(2pi)= 1$ (9)
Però… chi avrebbe mai detto che $sin z/z$ per $z=0$ vale proprio 1!… Da notare che abbiamo considerato solo i valori di $f(z)=sin z/z$ sul cerchio con centro nell’origine e raggio =1, senza fare alcuna ipotesi sul fatto se essa fosse o no ‘definita’ all’interno di tale cerchio…
Credo proprio di poter affermare a questo punto che negare il risultato rappresentato nella (9) equivale a negare la validità della prima delle formule integrali di Cauchy… chi di voi se la sente?…
cordiali saluti
lupo grigio
Ed ecco il secondo step, vale a dire stabilire se $f(z)=sin z/z$ è o no analitica all’interno di una qualsiasi regione chiusa del piano complesso. A tale scopo utilizziamo il teorema di Cauchy in base al quale se f(z) è analitica in ogni punto interno e sul contorno di una regione C del piano complesso deve essere…
$int_C f(z) dz=0$ (1)
Scegliamo ancora una volta per contorno il cerchio unitario ponendo $z=e^(jw)$. Procedendo come abbiamo fatto in precedenza si trova che…
$int_C (sin z)/z dz= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) sin (e^(jw)) dw$ (2)
Utlizzando ancora una volta lo sviluppo in serie della funzione $sin z$ si trova…
$int_(-pi)^(pi) sin (e^(jw)) dw= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n/((2n+1)!) int_(-pi)^(pi) e^(j(2n+1)w) dw$ (3)
Suddividendo l’integrale al secondo membro in parte reale e immaginaria si trova…
$int_(-pi)^(pi) e^(j(2n+1)w) dw= int_(-pi)^(pi) cos (2n+1)w*dw + j int_(-pi)^(pi) sin (2n+1)w *dw$ (4)
A differenza del caso precedente per tutti i valori di n tutti i termini reali e immaginari della (3) si annullano così che è…
$int_C (sin z)/z dz =0$ (5)
Dal momento che lo stesso risultato si ottiene integrando la funzione su un cerchio centrato nell’origine e di raggio arbitrario concludiamo che la funzione $f(z)=(sin z)/z$ è analitica su tutto il piano complesso…
Qualcuno ha intenzione per caso di mettere in dubbio il teorema di Cauchy?…
cordiali saluti
lupo grigio
$int_C f(z) dz=0$ (1)
Scegliamo ancora una volta per contorno il cerchio unitario ponendo $z=e^(jw)$. Procedendo come abbiamo fatto in precedenza si trova che…
$int_C (sin z)/z dz= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) sin (e^(jw)) dw$ (2)
Utlizzando ancora una volta lo sviluppo in serie della funzione $sin z$ si trova…
$int_(-pi)^(pi) sin (e^(jw)) dw= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n/((2n+1)!) int_(-pi)^(pi) e^(j(2n+1)w) dw$ (3)
Suddividendo l’integrale al secondo membro in parte reale e immaginaria si trova…
$int_(-pi)^(pi) e^(j(2n+1)w) dw= int_(-pi)^(pi) cos (2n+1)w*dw + j int_(-pi)^(pi) sin (2n+1)w *dw$ (4)
A differenza del caso precedente per tutti i valori di n tutti i termini reali e immaginari della (3) si annullano così che è…
$int_C (sin z)/z dz =0$ (5)
Dal momento che lo stesso risultato si ottiene integrando la funzione su un cerchio centrato nell’origine e di raggio arbitrario concludiamo che la funzione $f(z)=(sin z)/z$ è analitica su tutto il piano complesso…
Qualcuno ha intenzione per caso di mettere in dubbio il teorema di Cauchy?…
cordiali saluti
lupo grigio
Ma la funzione di partenza e' $zsin(1/z)$.Con la rappresentazione (conforme)
$w=1/z$ la si puo' trasformare in $sinw/w$ mentre la singolarita' inziale z=0 diventa quella in $w=oo$ e non gia' quella in $w=0$.I calcoli di Lupo grigio sono ben noti a chi ha studiato analisi complessa ( un qualsiasi testo di tal genere li riporta,magari in forma piu' moderna) ma non impressionano nessuno e,cosa piu' importante,
non spostano di un micron la questione.Forse Lussardi puo' derimere la "querelle"
con la sua autorevolezza.
Archimede.
$w=1/z$ la si puo' trasformare in $sinw/w$ mentre la singolarita' inziale z=0 diventa quella in $w=oo$ e non gia' quella in $w=0$.I calcoli di Lupo grigio sono ben noti a chi ha studiato analisi complessa ( un qualsiasi testo di tal genere li riporta,magari in forma piu' moderna) ma non impressionano nessuno e,cosa piu' importante,
non spostano di un micron la questione.Forse Lussardi puo' derimere la "querelle"
con la sua autorevolezza.
Archimede.
Ok. Il fatto e' che sulle dispense che ho si dice che se il limite esiste, la singolarita' e' eliminabile (questo senza
altre condizioni). Probabilmente in questo caso il criterio non vale...
Di che professore sono queste dispense ?Che corso ? Ho dato un'occhiata a quelle di un amico e ci sono le stesse testuali parole...
Sono ben lieto delle ‘osservazioni’ [e lo sarò ancora di più nel caso che tali ‘osservazioni’ siano confermate da forumisti in possesso di adeguata ‘autorevolezza’…] che sono state fatte a proposito di quanto ho scritto per un duplice motivo…
a) è stata confermata pienamente la validità delle formule di Cahchy e dei risultati che si ricavano dalla loro applicazione e ciò è assai confortante
b) è stato posto in evidenza un altro ‘baco’ esistente nella matematica che si insegna nelle nostre università, vale a dire il concetto di ‘singolarità all’infinito’, concetto del tutto privo di significato al pari di quello di ‘singolarità eliminabili’ e come tale da auspicarne quanto prima la 'epurazione' nel migliore stile sovietico
Pienamente ‘confortati’, passiamo quindi ad esaminare ancora una volta la funzione proposta all’inizio della discussione, vale a dire…
$f(z)= z*sin(1/z)$ (1)
Per prima cosa ricordiamo che una fuznione di variabile complessa $f(z)$ può, sotto ipotesi assai ampie, essere sviluppata in serie di Laurent nell’intorno di un punto $z=a$ del piano complesso posto in una regione C nel seguente modo…
$f(z)= sum_(i=-oo)^(+oo) (a_i)/((z-a)^i)$ (2)
Se la $a_i$ sono nulle per tutti i valori negativi di $i$ allora la funzione si dice ‘analitica’. Se le $a_i$ sono nulle per tutti i valori di $i$ minori di un intero negativo $n$ allora la funzione $f(z)$ possiede nel punto $z=a$ una singolarità di ordine n. Se nessuna delle due condizioni ora dette è verificata, allora la funzione $f(z)$ possiede nel punto $z=a$ una singolarità essenziale. Altri tipi di singolarità diverse da quelle citate semplicemente non esistono…
Dopo questa ovvia premessa esaminiamo gli sviluppi delle seguenti funzioni…
$sin (1/z)= … 1/362880 z^(-9) -1/5040 z^(-7)+ 1/120 z^(-5) – 1/6 z^(-3) + z^(-1)$ (3)
$z*sin(1/z) = ... 1/362880 z^(-8) –1/5040 z^(-6) + 1/120 z^(-4) – 1/6 z^(-2) + 1$ (4)
$z^k*sin(1/z)= ... 1/362880 z^(k-9)-1/5040 z^(k-7)+1/120 z^(k-5)-1/6 z^(k-3) +z^(k-1)$ (5)
E’ evidente che tutte hanno in $z=0$ una singolarità essenziale e che tale rimane per qualunque k, indipendentemente dal valore della funzione in $z=0$ o da altre considerazioni. Va detto in ogni caso che funzioni di questo tipo costituiscono in genere dei ‘casi patologici’ con scarsissimo impatto applicativo… per fortuna!…
cordiali saluti
lupo grigio
a) è stata confermata pienamente la validità delle formule di Cahchy e dei risultati che si ricavano dalla loro applicazione e ciò è assai confortante
b) è stato posto in evidenza un altro ‘baco’ esistente nella matematica che si insegna nelle nostre università, vale a dire il concetto di ‘singolarità all’infinito’, concetto del tutto privo di significato al pari di quello di ‘singolarità eliminabili’ e come tale da auspicarne quanto prima la 'epurazione' nel migliore stile sovietico
Pienamente ‘confortati’, passiamo quindi ad esaminare ancora una volta la funzione proposta all’inizio della discussione, vale a dire…
$f(z)= z*sin(1/z)$ (1)
Per prima cosa ricordiamo che una fuznione di variabile complessa $f(z)$ può, sotto ipotesi assai ampie, essere sviluppata in serie di Laurent nell’intorno di un punto $z=a$ del piano complesso posto in una regione C nel seguente modo…
$f(z)= sum_(i=-oo)^(+oo) (a_i)/((z-a)^i)$ (2)
Se la $a_i$ sono nulle per tutti i valori negativi di $i$ allora la funzione si dice ‘analitica’. Se le $a_i$ sono nulle per tutti i valori di $i$ minori di un intero negativo $n$ allora la funzione $f(z)$ possiede nel punto $z=a$ una singolarità di ordine n. Se nessuna delle due condizioni ora dette è verificata, allora la funzione $f(z)$ possiede nel punto $z=a$ una singolarità essenziale. Altri tipi di singolarità diverse da quelle citate semplicemente non esistono…
Dopo questa ovvia premessa esaminiamo gli sviluppi delle seguenti funzioni…
$sin (1/z)= … 1/362880 z^(-9) -1/5040 z^(-7)+ 1/120 z^(-5) – 1/6 z^(-3) + z^(-1)$ (3)
$z*sin(1/z) = ... 1/362880 z^(-8) –1/5040 z^(-6) + 1/120 z^(-4) – 1/6 z^(-2) + 1$ (4)
$z^k*sin(1/z)= ... 1/362880 z^(k-9)-1/5040 z^(k-7)+1/120 z^(k-5)-1/6 z^(k-3) +z^(k-1)$ (5)
E’ evidente che tutte hanno in $z=0$ una singolarità essenziale e che tale rimane per qualunque k, indipendentemente dal valore della funzione in $z=0$ o da altre considerazioni. Va detto in ogni caso che funzioni di questo tipo costituiscono in genere dei ‘casi patologici’ con scarsissimo impatto applicativo… per fortuna!…
cordiali saluti
lupo grigio
C'e' qualcuno sul forum che se la canta e se la suona da solo.Non ho
ancora trovato un testo che mettesse al bando le ormai "famigerate"
singolarita' (da sostituire poi con che cosa?).
Viceversa si insiste nel proporre lezioni di analisi complessa su argomenti
arcinoti e ,senza offesa per nessuno,pure un tantino triti.
Il tutto accompagnato da kilometrici sviluppi in serie con i quali si ammette di fatto
l'esistenza di singolarita' di cui ,in altra parte del discorso,si disconosce
la validita'.Verrebbe di dire che la cosa e' assai SINGOLARE!
D'altra parte non si e' data risposta alla mia osservazione sulla rappresentazione
conforme $z=1/w$ che trasforma la singolarita' di un tipo in una di genere
diverso con relativo dubbio sulla conseguente sviluppabilita'.
E' questo che vorrei sapere :il resto e' solo un polverone.
Archimede.
ancora trovato un testo che mettesse al bando le ormai "famigerate"
singolarita' (da sostituire poi con che cosa?).
Viceversa si insiste nel proporre lezioni di analisi complessa su argomenti
arcinoti e ,senza offesa per nessuno,pure un tantino triti.
Il tutto accompagnato da kilometrici sviluppi in serie con i quali si ammette di fatto
l'esistenza di singolarita' di cui ,in altra parte del discorso,si disconosce
la validita'.Verrebbe di dire che la cosa e' assai SINGOLARE!
D'altra parte non si e' data risposta alla mia osservazione sulla rappresentazione
conforme $z=1/w$ che trasforma la singolarita' di un tipo in una di genere
diverso con relativo dubbio sulla conseguente sviluppabilita'.
E' questo che vorrei sapere :il resto e' solo un polverone.
Archimede.
Allora, dal momento che è Natale vedrò di fare non comportarmi da lupo ma da agnello…
Quello che mi sono sforzato di far capire è semplicemente che concetti come ‘singolarità eliminabili’ e ‘singolarità all’infinito’, quand’anche riportati dalla maggior parte dei testi di teoria delle funzioni di variabile complessa [sarebbe da specificare ‘scritti in italiano’… si da il caso infatti che in quelli da me posseduti scritti in inglese non ce ne sia traccia…], sono concetti privi di significato e in quanto tali utili unicamente a ingenerare confusione. Il caso delle ‘singolarità eliminabili’ è stato [mi pare…] trattato diffusamente e non necessita di ulteriori spiegazioni. Il caso delle ‘singolarità all’infinito’ si liquida poi in maniera talmente semplice da non essere neppure classificabile come ‘banale’. Se infatti si afferma che una funzione $f(z)$ ha una ‘singolarità all’infinito’ [supponiamo ad esempio di ordine n…], ciò significa che nel suo sviluppo in serie di Laurent compare un termine della forma…
$(a_(-n))/(z-oo)^n$ (1)
Ebbene, dal momento che la (1) è una scrittura priva di significato, è evidente che lo stesso concetto di ‘singolarità all’infinito’ è anch’esso privo di significato…
Detto questo sono lieto di augurare a tutti… un felice Natale…
lupo grigio
Quello che mi sono sforzato di far capire è semplicemente che concetti come ‘singolarità eliminabili’ e ‘singolarità all’infinito’, quand’anche riportati dalla maggior parte dei testi di teoria delle funzioni di variabile complessa [sarebbe da specificare ‘scritti in italiano’… si da il caso infatti che in quelli da me posseduti scritti in inglese non ce ne sia traccia…], sono concetti privi di significato e in quanto tali utili unicamente a ingenerare confusione. Il caso delle ‘singolarità eliminabili’ è stato [mi pare…] trattato diffusamente e non necessita di ulteriori spiegazioni. Il caso delle ‘singolarità all’infinito’ si liquida poi in maniera talmente semplice da non essere neppure classificabile come ‘banale’. Se infatti si afferma che una funzione $f(z)$ ha una ‘singolarità all’infinito’ [supponiamo ad esempio di ordine n…], ciò significa che nel suo sviluppo in serie di Laurent compare un termine della forma…
$(a_(-n))/(z-oo)^n$ (1)
Ebbene, dal momento che la (1) è una scrittura priva di significato, è evidente che lo stesso concetto di ‘singolarità all’infinito’ è anch’esso privo di significato…
Detto questo sono lieto di augurare a tutti… un felice Natale…
lupo grigio
[size=150]OK!![/size]
[size=150]Archie[/size]
[size=150]Archie[/size]
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