Sviluppo serie di Taylor
Salve a tutti..ho un grosso problema con la serie di taylor in porticolare con questo esercizio...
Trovare lo sviluppo di Taylor,con il resto in forma di Peano,fino al termine x^2 incluso con punto iniziale x_0=1 di
$ f(x)=e^(x^(1/2))- e^(1-x) $
Allora io non so come procedere però ho ragianato in questo modo:
utilizzo lo sviluppo fondamentale di e^z ,poi operando la sostituzione z=x^1/2 arresto lo sviluppo fino al quarto ordine e ottengo
$ e^(x^(1/2))= 1+x^(1/2)+(x/2)+((x^(1/2))^(3)/(3!))+(x^(2)/(4!))+o(x^2) $ , poi
con la sostituzione di x^1/2 -x_0=t -> x^1/2-1=t quindi x=(t+1)^2 mi riconduco allo sviluppo della funzione
$ g(t)=f((t+1)^2)=e^((t+1)^2) $ con centro t_0=0e arresto al primo ordine e ottengo
$ e^((t+1)^2)=1+(t+1)^2+o((t+1)^2) $ e poi torno alla varialbile x e sostituisco
questo procedimento va bene??? o sto sbagliando???
grazie
Trovare lo sviluppo di Taylor,con il resto in forma di Peano,fino al termine x^2 incluso con punto iniziale x_0=1 di
$ f(x)=e^(x^(1/2))- e^(1-x) $
Allora io non so come procedere però ho ragianato in questo modo:
utilizzo lo sviluppo fondamentale di e^z ,poi operando la sostituzione z=x^1/2 arresto lo sviluppo fino al quarto ordine e ottengo
$ e^(x^(1/2))= 1+x^(1/2)+(x/2)+((x^(1/2))^(3)/(3!))+(x^(2)/(4!))+o(x^2) $ , poi
con la sostituzione di x^1/2 -x_0=t -> x^1/2-1=t quindi x=(t+1)^2 mi riconduco allo sviluppo della funzione
$ g(t)=f((t+1)^2)=e^((t+1)^2) $ con centro t_0=0e arresto al primo ordine e ottengo
$ e^((t+1)^2)=1+(t+1)^2+o((t+1)^2) $ e poi torno alla varialbile x e sostituisco
questo procedimento va bene??? o sto sbagliando???
grazie
Risposte
non c'è nessuno che mi può aiutare...o che mi può dare un consiglio...per favore!!!!
grazie
grazie
Non può andare bene, perchè ti uscirebbero fuori potenze non intere nello sviluppo finale (ove potenze del tipo [tex]$(x-1)^\frac{1}{2}$[/tex] non sono ammesse).
Visto che devi calcolare lo sviluppo fino al secondo ordine, perchè non usi la definizione per trovare i coefficienti di Taylor?
Visto che devi calcolare lo sviluppo fino al secondo ordine, perchè non usi la definizione per trovare i coefficienti di Taylor?
Allora, ora non ti so dire se come hai fatto tu è corretto, quello che ti posso dire è che io lo farei così:
Per prima cosa sviluppo la funzione composta. In particolare:
$x^(1/2) = \sqrt{x} = 1 + \frac{x-1}{2} - \frac{ (x-1)^2 }{8} + o(x-1)^2 = 3/8 + 3/4x -x^2/8 +o(x^2)$ ( in un'intorno del punto $(1,0)$ )
Quindi ora siamo a:
$e^[ 1 + \frac{x-1}{2} + \frac{ (x-1)^2 }{8} + o(x-1)^2 ] - e^(1-x) $
Sappiamo che vale:
$ e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) $ per $x_0 = 0$
$ e^x = 1/e + x/e + x^2/(2e) + o(x^2) $ per $x_0 = 1$
Dobbiamo usarli separatamente in quanto nel primo termine ( $ e^\sqrt{x} $ ) l'argomento dell'esponenziale tende a 1, mente nel secondo tende a 0.
Dunque, sostituendo, otterremo:
$e^\sqrt{x} = 1/e + [ 3/8 + 3/4x - x^2/8 +o(x^2) ]/e + [ 3/8 + 3/4x - x^2/8 +o(x^2) ]^2/(2e) + o(x^2) $
e l'altro termine:
$ e^(1-x) = 1 + (1-x) + (1-x)^2/2 + o(x^2) $
Se non ho fatto errori madornali, non ti resta che mettere insieme il tutto e fare due conticini con gli o-piccoli. Aspetta sche qualcun'altro ti dia conferma, io ora devo proprio scappare!
Per prima cosa sviluppo la funzione composta. In particolare:
$x^(1/2) = \sqrt{x} = 1 + \frac{x-1}{2} - \frac{ (x-1)^2 }{8} + o(x-1)^2 = 3/8 + 3/4x -x^2/8 +o(x^2)$ ( in un'intorno del punto $(1,0)$ )
Quindi ora siamo a:
$e^[ 1 + \frac{x-1}{2} + \frac{ (x-1)^2 }{8} + o(x-1)^2 ] - e^(1-x) $
Sappiamo che vale:
$ e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) $ per $x_0 = 0$
$ e^x = 1/e + x/e + x^2/(2e) + o(x^2) $ per $x_0 = 1$
Dobbiamo usarli separatamente in quanto nel primo termine ( $ e^\sqrt{x} $ ) l'argomento dell'esponenziale tende a 1, mente nel secondo tende a 0.
Dunque, sostituendo, otterremo:
$e^\sqrt{x} = 1/e + [ 3/8 + 3/4x - x^2/8 +o(x^2) ]/e + [ 3/8 + 3/4x - x^2/8 +o(x^2) ]^2/(2e) + o(x^2) $
e l'altro termine:
$ e^(1-x) = 1 + (1-x) + (1-x)^2/2 + o(x^2) $
Se non ho fatto errori madornali, non ti resta che mettere insieme il tutto e fare due conticini con gli o-piccoli. Aspetta sche qualcun'altro ti dia conferma, io ora devo proprio scappare!
"gugo82":
Non può andare bene, perchè ti uscirebbero fuori potenze non intere nello sviluppo finale (ove potenze del tipo [tex]$(x-1)^\frac{1}{2}$[/tex] non sono ammesse).
Visto che devi calcolare lo sviluppo fino al secondo ordine, perchè non usi la definizione per trovare i coefficienti di Taylor?
coefficienti di Taylor..non li ho nel programma..quindi penso non vada bene!!!
cmq grazie
"sapie":
coefficienti di Taylor..non li ho nel programma..quindi penso non vada bene!!!
cmq grazie
Mi pare un pò assurdo studiare la serie di taylor e non fare i coefficienti di taylor
Probabilmente il tuo professore non li ha evidenziati:
$a_n = \frac{ D^{(n)} f(x) "|"_{x_0}}{n!}$
Rendono la serie di potenze: $sum a_n (x-x_0)^n$
uno sviluppo in serie di taylor:
$ sum \frac{ D^{(n)} f(x) "|"_{x_0}}{n!} (x-x_0)^n$
Ottimo suggerimento gugo, non ci avevo pensato, è una maniera molto più veloce! ( e sensata )
"sapie":
coefficienti di Taylor..non li ho nel programma..quindi penso non vada bene!!!
L'ennesimo coefficiente (della formula) di Taylor in [tex]$x_0$[/tex] è [tex]$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$[/tex]...
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