Sviluppo Serie di Taylor

[Dave951]

Buongiorno, mi si presenta la seguente richiesta:

Scrivere lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto indicato:

$f(x)= 1/(x-3) , x_0=1$

Ho ragionato in questa maniera:
Voglio ricondurmi alla serie $1/(1-x)=\sum_{n=0}^\infty x^n , x in (-1,1)$.

Per fare ciò, gioco un po' con il denominatore, tale che :
$f(x)= 1/(x-3)= 1/(x-1-2)= (1/2) 1/((x-1)/2-1)=- 1/2 1/(1-(x-1/2)) $

Ora mi riconduco alla serie precedentemente scritta, ottenendo:

$-1/2 \sum_{n=0}^\infty (x-1)^n/ 2^n $

E' corretto?

grazie mille a tutti

[Rigel1]

Direi di sì.

[Dave951]

Ottimo, grazie mille Rigel. Se posso, potresti anche dare un'occhiata a come ho risolto questa:

$f(x)=e^(-3x), x_0=e$

Mi riconduco a questa serie: $e^x=\sum_{n=0}^\infty\ x^n /(n!)$

Anche con questa gioco un po' con l'esponente, in tale maniera:

$e^(-3(x-e+e))= e^{(-3)(x-e+e)}=(e^{x-e+e})^(-3)=(e^(x-e)e^e)^(-3)= e^(-3x+3e) e^(-3e)=e^(-3e) \sum_{n=0}^\infty\ (-3x+3e)^n /(n!) = e^(-3e) \sum_{n=0}^\infty\ (-3)^n (x-e)^n /(n!) $

Che ne pensi, potrebbe essere corretta?

[Rigel1]

"Dave95":$e^(-3(x-e+e))= e^{(-3)(x-e+e)}=(e^{x-e+e})^(-3)=(e^(x-e)e^e)^(-3)= e^(-3x+3e) e^(-3e)=e^(-3e) \sum_{n=0}^\infty\ (-3x+3e)^n /(n!) = e^(-3e) \sum_{n=0}^\infty\ (-3)^n (x-e)^n /(n!) $

Beh, qui i primi tre passaggi si potevano evitare.

[Dave951]

Ok, era solo per dimostrare la chiarezza del passaggio, scusami.