Sviluppo Serie di Laurent
Salve a tutti,
sto riscontrando un dubbio nel seguente esercizio:
Determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $f(z)=(sinz)/(1-cosz)$ in $0<|z|<1$
La mia idea è questa:
Intanto il denominatore di $f(z)$ si annulla il $z=2kpi$ con $k in ZZ$, quindi $f(z)$ è olomorfa nel disco bucato dato dall'esercizio.
Scrivo $f(z)=sinz(1/(1-cosz))$, dove naturalmente lo sviluppo di $sinz$ è noto.
La mia domanda è: posso considerare $1/(1-cosz)$ come somma di una serie geometrica (dato che $|cosz|<1$ nel disco bucato)?
In caso di risposta affermativa credo di aver finito, perchè faccio il prodotto secondo Cauchy del primo sviluppo con il secondo e ottengo lo sviluppo di $f(z)$.
Corregetemi se sbaglio!
sto riscontrando un dubbio nel seguente esercizio:
Determinare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $f(z)=(sinz)/(1-cosz)$ in $0<|z|<1$
La mia idea è questa:
Intanto il denominatore di $f(z)$ si annulla il $z=2kpi$ con $k in ZZ$, quindi $f(z)$ è olomorfa nel disco bucato dato dall'esercizio.
Scrivo $f(z)=sinz(1/(1-cosz))$, dove naturalmente lo sviluppo di $sinz$ è noto.
La mia domanda è: posso considerare $1/(1-cosz)$ come somma di una serie geometrica (dato che $|cosz|<1$ nel disco bucato)?
In caso di risposta affermativa credo di aver finito, perchè faccio il prodotto secondo Cauchy del primo sviluppo con il secondo e ottengo lo sviluppo di $f(z)$.
Corregetemi se sbaglio!
Risposte
Ciao. Quello che hai detto lo puoi fare, solo che, se ho capito bene, ti resterebbero dei termini che sono potenze di $cos z$. Nella serie di Laurent non li puoi fare comparire, quindi poi dovresti provare a sostituire lo sviluppo di Mc Laurin del coseno.
Se ho capito mi stai dicendo che dovrei scrivere $1/(1-cosz)=\sum_{n=0}^(+infty) (cosz)^n$ e poi mettere a posto di $cosz$ il suo sviluppo notevole? Comunque perchè non posso far figurare $cosz$ nello sviluppo?
EDIT: ho capito perchè non può figurare il $cosz$, mi sono semplicemente andato a rivedere la definizione di serie di Laurent!!!
Per quanto riguarda il risultato, ho fatto i calcoli e dovrebbe venire:
$1/(1-cosz)=\sum_{n=0}^(+infty) (cosz)^n=\sum_{n=0}^(+infty) (\sum_{k=0}^(+infty) (-1)^k((z^(2k))/(2k!)))^n$ (che per semplicità indico con $S$!).
A questo punto dovrebbe risultare $f(z)=sinz/(1-cosz)=(sinz)S=(\sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n(z^(2n+1))/((2n+1)!))S$? E come posso fare il prodotto secondo Cauchy?! Mi manda in confusione $S$, non so come trattarla!
EDIT: ho capito perchè non può figurare il $cosz$, mi sono semplicemente andato a rivedere la definizione di serie di Laurent!!!
Per quanto riguarda il risultato, ho fatto i calcoli e dovrebbe venire:
$1/(1-cosz)=\sum_{n=0}^(+infty) (cosz)^n=\sum_{n=0}^(+infty) (\sum_{k=0}^(+infty) (-1)^k((z^(2k))/(2k!)))^n$ (che per semplicità indico con $S$!).
A questo punto dovrebbe risultare $f(z)=sinz/(1-cosz)=(sinz)S=(\sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n(z^(2n+1))/((2n+1)!))S$? E come posso fare il prodotto secondo Cauchy?! Mi manda in confusione $S$, non so come trattarla!
Mi dispiace di avere creato confusione, ma anche qui ho sbagliato qualcosa, per cui ora lo correggo qui stesso esplicitando i passaggi più chiaramente.
La serie $S$ è praticamente impossibile da calcolare come suggerito sopra...
Il denominatore si annulla in $z=0$, per cui lì la funzione ha una singolarità. Non è necessario, ma ho preferito moltiplicare numeratore e denominatore per $1+cosz$, in modo da ottenere:
$f(z) =( (senz)(1+cosz))/((1+cosz)(1-cosz)) = ((senz)(1+cosz))/(1- cos^2 z) =((senz)(1+cosz))/(sen^2 z) = (1+cos z)/(senz) $
$1+cosz$ si può sviluppare in serie di Taylor.
Resta da trovare la serie di Laurent di $1/(senz)$. Si osserva che $lim_(z->0) z/(senz) =1$, per cui la singolarità in $z=0$ è un polo di ordine 1.
$f(z) = (a_(-1))/z + a_0 + a_1 z + a_2 z^2 +...+ a_n z^n +...$
$z*f(z)=z/(senz) = a_(-1) + a_0 z + a_1 z^2 + a_2 z^3 + ...+a_n z^(n+1) +...$
Da qui si ricava che:
$a_(-1) =lim_(z->0) z/(senz) = 1$
$d/(dz) z/(senz) = a_0 + 2 a_1 z + 3 a_2 z^2 + ...+ (n+1)a_n z^n +...$
Da cui:
$a_(0) =lim_(z->0) d/(dz) z/(sen z) =lim_(z->0) (senz -z cosz)/(sen^2 z) = lim_(z->0) (z(1-cosz)+o(z))/(z^2 + o(z^2)) = 0$
$(d^2)/(dz^2) z/(senz) = 2 a_1 + 6 a_2 z +... + (n+1)n a_n z^(n-1)$
...
$a_n =1/((n+1)!) lim_(z->0) (d^(n+1))/(dz^(n+1)) z/(senz)
Il problema è che in questo modo, al momento, non riesco ad ottenere una formula di ricorrenza.
Conosco anche un altro modo di ottenere i coefficienti, manipolando quella serie, ma di solito porta a calcoli più complessi.
La serie $S$ è praticamente impossibile da calcolare come suggerito sopra...
Il denominatore si annulla in $z=0$, per cui lì la funzione ha una singolarità. Non è necessario, ma ho preferito moltiplicare numeratore e denominatore per $1+cosz$, in modo da ottenere:
$f(z) =( (senz)(1+cosz))/((1+cosz)(1-cosz)) = ((senz)(1+cosz))/(1- cos^2 z) =((senz)(1+cosz))/(sen^2 z) = (1+cos z)/(senz) $
$1+cosz$ si può sviluppare in serie di Taylor.
Resta da trovare la serie di Laurent di $1/(senz)$. Si osserva che $lim_(z->0) z/(senz) =1$, per cui la singolarità in $z=0$ è un polo di ordine 1.
$f(z) = (a_(-1))/z + a_0 + a_1 z + a_2 z^2 +...+ a_n z^n +...$
$z*f(z)=z/(senz) = a_(-1) + a_0 z + a_1 z^2 + a_2 z^3 + ...+a_n z^(n+1) +...$
Da qui si ricava che:
$a_(-1) =lim_(z->0) z/(senz) = 1$
$d/(dz) z/(senz) = a_0 + 2 a_1 z + 3 a_2 z^2 + ...+ (n+1)a_n z^n +...$
Da cui:
$a_(0) =lim_(z->0) d/(dz) z/(sen z) =lim_(z->0) (senz -z cosz)/(sen^2 z) = lim_(z->0) (z(1-cosz)+o(z))/(z^2 + o(z^2)) = 0$
$(d^2)/(dz^2) z/(senz) = 2 a_1 + 6 a_2 z +... + (n+1)n a_n z^(n-1)$
...
$a_n =1/((n+1)!) lim_(z->0) (d^(n+1))/(dz^(n+1)) z/(senz)
Il problema è che in questo modo, al momento, non riesco ad ottenere una formula di ricorrenza.
Conosco anche un altro modo di ottenere i coefficienti, manipolando quella serie, ma di solito porta a calcoli più complessi.
Non capisco perchè hai calcolato il coefficente $a_-2$ se il polo è di ordine 1 ($a_-2=0$, così come tutti gli $a_-m$ con $m<1$, no?). Inoltre non mi sono chiari i passaggi che portano da $sinz/(1-cosz)(1+cosz)/(1+cosz)$ a $(1+cosz)/sinz$.
P.S.: il metodo che hai postato non credo di averlo mai visto, nonostante il professore abbia concluso l'argomento riguardante le serie di Laurent. Nonostante ciò credo di averlo capito (almeno in parte!); è l'unico metodo per poter risolvere quest'esercizio o potresti propormene un'altro?
EDIT: ho capito i passaggi che portano da $sinz/(1-cosz)(1+cosz)/(1+cosz)$ a $(1+cosz)/sinz$! (Sono anche abbastanza facili, non so ieri dove avevo la testa!!!). Mi resta solo il dubbio del perchè hai calcolato il coefficente $a_-2$.
P.S.: il metodo che hai postato non credo di averlo mai visto, nonostante il professore abbia concluso l'argomento riguardante le serie di Laurent. Nonostante ciò credo di averlo capito (almeno in parte!
); è l'unico metodo per poter risolvere quest'esercizio o potresti propormene un'altro?EDIT: ho capito i passaggi che portano da $sinz/(1-cosz)(1+cosz)/(1+cosz)$ a $(1+cosz)/sinz$! (Sono anche abbastanza facili, non so ieri dove avevo la testa!!!
). Mi resta solo il dubbio del perchè hai calcolato il coefficente $a_-2$.
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