Sviluppo serie di laurent
Salve! Qualcuno mi sa aiutare? Devo sviluppare la funzione
$z^3/(+z)^3$
nella sua singolarità (cioé $z=-1$). Chiaramente il risultato sarà una serie di laurent!!!
Grazie!
$z^3/(+z)^3$
nella sua singolarità (cioé $z=-1$). Chiaramente il risultato sarà una serie di laurent!!!
Grazie!
Risposte
Ciao!
Che strano, avevo esattamente la stessa funzione in un esercizio, però mi chiedeva di trovare il residuo.
Allora:
$f(z) = (z^3)/((1+z)^3)$
Vediamo innanzitutto di che tipo di singolarità si tratta.
Visto che $lim_(z-> -1) (1+z)^3 f(z) = lim_(z-> -1) z^3 = -1$
Perciò visto che il limite esiste, $(1+z)^3 f(z)$ avrà una singolarità eliminabile per $z = -1$, e quindi f è un polo di ordine 3.
$(1+z)^3 f(z)$ è sviluppabile facilmente in serie di Taylor in $z = -1$, cioè:
$(1+z)^3 f(z) = z^3 = (z+1)^3 -3(z+1)^2 + 3(z+1) - 1$
E quindi f(z) sviluppata in serie di Laurent in -1, sarà:
$f(z) = (-1)/((z+1)^3) + (3)/((z+1)^2) - (3)/(z+1) + 1$
Se non hai capito chiedi pure...
Ciao!
Che strano, avevo esattamente la stessa funzione in un esercizio, però mi chiedeva di trovare il residuo.
Allora:
$f(z) = (z^3)/((1+z)^3)$
Vediamo innanzitutto di che tipo di singolarità si tratta.
Visto che $lim_(z-> -1) (1+z)^3 f(z) = lim_(z-> -1) z^3 = -1$
Perciò visto che il limite esiste, $(1+z)^3 f(z)$ avrà una singolarità eliminabile per $z = -1$, e quindi f è un polo di ordine 3.
$(1+z)^3 f(z)$ è sviluppabile facilmente in serie di Taylor in $z = -1$, cioè:
$(1+z)^3 f(z) = z^3 = (z+1)^3 -3(z+1)^2 + 3(z+1) - 1$
E quindi f(z) sviluppata in serie di Laurent in -1, sarà:
$f(z) = (-1)/((z+1)^3) + (3)/((z+1)^2) - (3)/(z+1) + 1$
Se non hai capito chiedi pure...
Ciao!
"pat87":
Ciao!
Che strano, avevo esattamente la stessa funzione in un esercizio, però mi chiedeva di trovare il residuo.
Allora:
$f(z) = (z^3)/((1+z)^3)$
Vediamo innanzitutto di che tipo di singolarità si tratta.
Visto che $lim_(z-> -1) (1+z)^3 f(z) = lim_(z-> -1) z^3 = -1$
Perciò visto che il limite esiste, $(1+z)^3 f(z)$ avrà una singolarità eliminabile per $z = -1$, e quindi f è un polo di ordine 3.
$(1+z)^3 f(z)$ è sviluppabile facilmente in serie di Taylor in $z = -1$, cioè:
$(1+z)^3 f(z) = z^3 = (z+1)^3 -3(z+1)^2 + 3(z+1) - 1$
E quindi f(z) sviluppata in serie di Laurent in -1, sarà:
$f(z) = (-1)/((z+1)^3) + (3)/((z+1)^2) - (3)/(z+1) + 1$
Se non hai capito chiedi pure...
Ciao!
Ciao, ma guarda chi si vede!!!!
mmmm anche io avevo la "stassa" funzione nell'esercizio! (Tra l'altro ghezzabanda ha dimenticato credo qualcosa al denominatore!!!!)
cmq io non ci ho ancora guardato bene l'esercizio, ma non capisco quando dici
$(1+z)^3 f(z) = z^3 = (z+1)^3 -3(z+1)^2 + 3(z+1) - 1$
Buona serata!
PS: io avrei pensato allo sviluppo di $(1+z)^p$
Lando! Che piacere sentirti! 
Allora visto che:
$g(z):=(1+z)^3 f(z) = z^3$
effettuando una sostituzione con $z= w -1$, ci accorgiamo che:
$g(z) = g(w-1) = (w-1)^3 = w^3 -3w^2 + 3w -1 $
dato che $w = z+1$, abbiamo che:
$g(z) = (z+1)^3 -3(z+1)^2 +3(z+1) - 1$
e quindi ecco lo sviluppo in serie di Taylor in -1 di g.
Ciao!
Allora visto che:
$g(z):=(1+z)^3 f(z) = z^3$
effettuando una sostituzione con $z= w -1$, ci accorgiamo che:
$g(z) = g(w-1) = (w-1)^3 = w^3 -3w^2 + 3w -1 $
dato che $w = z+1$, abbiamo che:
$g(z) = (z+1)^3 -3(z+1)^2 +3(z+1) - 1$
e quindi ecco lo sviluppo in serie di Taylor in -1 di g.
Ciao!
Grazie infinite! Ora ho capito"se ho altre domande allora so dove trovarvi.....
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