Sviluppo ordine al 3 ordine centrato in x=0
Sviluppo ordine al 3 ordine centrato in x=0 della seguente funzione
$ x*(1-x)^-1 $
mi dite come devo procedere una volta che calcolo la derivata 1 la derivata 2 e la derivata 3??
$ x*(1-x)^-1 $
mi dite come devo procedere una volta che calcolo la derivata 1 la derivata 2 e la derivata 3??
Risposte
nessuno mi da una mano??
La funzione è [tex]f(x)=\frac{x}{1-x}[/tex], giusto?
Beh in questo caso puoi procedere in due modi, uno furbo con il quale eviti il calcolo delle derivate, uno un po' meno furbo, ma comunque efficace.
Metodo meno furbo:
•Calcoliamo le derivate fino all'ordine 3:
[tex]f'(x)= \frac{1}{(1-x)^2}[/tex]
[tex]f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}[/tex]
[tex]f'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4}[/tex]
•Valutiamo la funzione e le sue derivate nel punto [tex]x=0[/tex] ottenendo:
[tex]f(0)= 0[/tex]
[tex]f'(0)= 1[/tex]
[tex]f''(0)= 2[/tex]
[tex]f'''(0)= 6[/tex]
• Utilizzando la formula nota, costruisci il polinomio di Taylor-McLaurin, che in questo caso risulta essere:
[tex]T[f, 0] = x+x^2+x^3+o(x^4)[/tex]
Metodo furbo:
• [tex]\displaystyle f(x)= \frac{x}{1-x} = x \left(\frac{1}{1-x}\right)= x \sum_{n=0}^\infty x^n= \sum_{n=0}^\infty x^{n+1}\quad \text{per}\quad |x|<1[/tex]
Quella che ho scritto è in realtà la serie di Taylor della funzione [tex]\frac{x}{1-x}[/tex]
A questo punto scriviamo un paio di termini dello sviluppo in serie, tanti quanti ne abbiamo bisogno:
[tex]T[f, 0]= x+x^2+x^3+o(x^4)[/tex]
Piccola nota: il metodo furbo richiede la conoscenza delle serie di taylor, nel caso in cui tu non l'abbia già studiate, allora consiglio di seguire il primo metodo.
Beh in questo caso puoi procedere in due modi, uno furbo con il quale eviti il calcolo delle derivate, uno un po' meno furbo, ma comunque efficace.
Metodo meno furbo:
•Calcoliamo le derivate fino all'ordine 3:
[tex]f'(x)= \frac{1}{(1-x)^2}[/tex]
[tex]f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}[/tex]
[tex]f'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4}[/tex]
•Valutiamo la funzione e le sue derivate nel punto [tex]x=0[/tex] ottenendo:
[tex]f(0)= 0[/tex]
[tex]f'(0)= 1[/tex]
[tex]f''(0)= 2[/tex]
[tex]f'''(0)= 6[/tex]
• Utilizzando la formula nota, costruisci il polinomio di Taylor-McLaurin, che in questo caso risulta essere:
[tex]T[f, 0] = x+x^2+x^3+o(x^4)[/tex]
Metodo furbo:
• [tex]\displaystyle f(x)= \frac{x}{1-x} = x \left(\frac{1}{1-x}\right)= x \sum_{n=0}^\infty x^n= \sum_{n=0}^\infty x^{n+1}\quad \text{per}\quad |x|<1[/tex]
Quella che ho scritto è in realtà la serie di Taylor della funzione [tex]\frac{x}{1-x}[/tex]
A questo punto scriviamo un paio di termini dello sviluppo in serie, tanti quanti ne abbiamo bisogno:
[tex]T[f, 0]= x+x^2+x^3+o(x^4)[/tex]
Piccola nota: il metodo furbo richiede la conoscenza delle serie di taylor, nel caso in cui tu non l'abbia già studiate, allora consiglio di seguire il primo metodo.
grazie...gentilisssimo...
penso che io usero' il metodo meno furbo...
una domanda...in un esercizio con mc laurin con un espressione tipo a quella precedente cioè con x che moltiplica qualcosa (mi sembre fosse X * log X) abbiamo calcolato le derivate solo della seconda parte cioè di log x
...alla fine quando abbiamo inserito nella formula abbiamo moltiplicato ogni polinomio per X....
è fattibile anche in questo caso???
penso che io usero' il metodo meno furbo...
una domanda...in un esercizio con mc laurin con un espressione tipo a quella precedente cioè con x che moltiplica qualcosa (mi sembre fosse X * log X) abbiamo calcolato le derivate solo della seconda parte cioè di log x
...alla fine quando abbiamo inserito nella formula abbiamo moltiplicato ogni polinomio per X....
è fattibile anche in questo caso???
Se la funzione fosse effettivamente [tex]f(x)= x \log(x)[/tex] allora non è sviluppabile in serie in [tex]x=0[/tex]. D'altro canto se la funzione fosse [tex]f(x)= x \log(1+x)[/tex] allora il discorso cambia 
scusa se continuo a romperti...ma se l'esercizio sarebbe stato di calcolare lo sviluppo secondo mclaurin (x=0) dovevo semplicemnte sostituire i risultati delle derivate 1 derivate 2 derivate 3 nella formula
se invece mi chiede solo Sviluppo al 3 ordine centrato in x=0 ..qual'è la formula del sito http://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm devo inserirla??
se invece mi chiede solo Sviluppo al 3 ordine centrato in x=0 ..qual'è la formula del sito http://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm devo inserirla??
"geme":
scusa se continuo a romperti...ma se l'esercizio sarebbe stato di calcolare lo sviluppo secondo mclaurin (x=0) dovevo semplicemnte sostituire i risultati delle derivate 1 derivate 2 derivate 3 nella formula
se invece mi chiede solo Sviluppo al 3 ordine centrato in x=0 ..qual'è la formula del sito http://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm devo inserirla??
Perdonami, ma non riesco a capire quale sia il problema
Facciamo così, mi scrivi lo sviluppo di Taylor -McLaurin della funzione [tex]f(x)= \log(1+x)[/tex] di ordine 3? Provaci e fammi sapere (ti ho dato questo esercizio, davvero semplice, per capire dove hai problemi, ma ti prego non sentirti obbligato )
ok... 
parte 1
parte2
[mod="dissonance"]Immagini cancellate.[/mod]
ho dovuto farlo prima di andare a letto...
fammi sapere
buona notte
parte2
[mod="dissonance"]Immagini cancellate.[/mod]
ho dovuto farlo prima di andare a letto...
fammi sapere
buona notte
dimenticavo $ log (2)/2 $ l'ho lasciato cosi'...è giusto???
[mod="dissonance"]@geme: 1) Ti prego di togliere quelle due immagini così grandi, l'ideale sarebbe battere tutto in MathML, ma va bene anche se le ridimensioni o metti un link solo al thumbnail. Non le lasciare così altrimenti tra 24 ore le dovrò cancellare, creano problemi.
2) Un'altra cosa. Oggi pomeriggio hai fatto un "UP" a distanza di sole due ore dall'ultimo intervento. Questo comportamento non è assolutamente tollerato su questo forum, vedi regolamento punto 3.4 . Evita che si ripeta altrimenti dovremo chiudere il tuo topic.
Grazie per l'attenzione, buon proseguimento. [/mod]
2) Un'altra cosa. Oggi pomeriggio hai fatto un "UP" a distanza di sole due ore dall'ultimo intervento. Questo comportamento non è assolutamente tollerato su questo forum, vedi regolamento punto 3.4 . Evita che si ripeta altrimenti dovremo chiudere il tuo topic.
Grazie per l'attenzione, buon proseguimento. [/mod]
@geme, ti ringrazio per aver svolto un esercizio che ti ho lasciato . Purtroppo però quest'ultimo ha messo in evidenza alcune lacune che però possono essere colmate in un pomeriggio di studio 
. Innanzitutto hai comesso un errore nel calcolo della derivata prima e di conseguenza hai compromesso l'intero esercizio. Se ti va potresti riprovarci, però ti chiedo un favore, non mettere le immagini, scrivi direttamente le formule con il metodo di scrittura del forum (come suggerito da dissonance).
. Purtroppo però quest'ultimo ha messo in evidenza alcune lacune che però possono essere colmate in un pomeriggio di studio . Innanzitutto hai comesso un errore nel calcolo della derivata prima e di conseguenza hai compromesso l'intero esercizio. Se ti va potresti riprovarci, però ti chiedo un favore, non mettere le immagini, scrivi direttamente le formule con il metodo di scrittura del forum (come suggerito da dissonance).
mi accorgo solo adesso che ho sbagliato la derivata seconda..
[mod="dissonance"]Immagini cancellate e topic chiuso. Sei pregato di prestare attenzione agli avvisi dei moderatori le prossime volte.[/mod]
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