Sviluppo logaritmo naturale al tendere dell'argomento all'infinito

[lobacevskij]

Ciao ragazzi, ho un problema con questo limite:

$ lim_(n -> \infty) (n^2+ln (n!)+cos(n))*(sin (1/n)ln (n+1)-arctan (1/n)ln (n-1)) $

Nessun problema per la prima parentesi. Raccolgo $n^2$ e vedo che $ln (n!)/n^2$ e $cos(n)/n^2$ vanno a zero.
Sviluppo poi il seno e l'arcotangente sfruttando il fatto che $1/n->0$ al tendere di $n$ all'infinito.
Il problema sono i due logaritmi. Se faccio il conto senza toccarli, mi ritrovo:

$ lim_(n -> \infty) (n^2)*((1/n-1/(6n^3))ln (n+1)-(1/n-1/(3n^3))ln (n-1)) $

Ma tutta la seconda parentesi andrebbe a zero, facendomi venir fuori una forma indeterminata.

L'idea sarebbe quella di sviluppare il logaritmo, ma più di questo non riesco a fare:

$ln (n+1)=ln (1/(n+1))^-1=-ln (1/(n+1))$

Ora l'argomento tende a zero al tendere di $n$ all'infinito, ma la formula dello sviluppo ha un $+1$ che qua mi manca. Qualche idea?

Grazie fin da ora a chi vorrà darmi una mano

[lobacevskij]

Giusto per eventuali utenti interessati, ecco come ne sono venuto a capo.

Pensandoci ancora un po' su, dopo il primo passaggio, moltiplicando per $ n^2 $ mi riconduco a:

$ lim_(x -> \infty) n*ln((n+1)/(n-1)) $

e da qui poi a:

$ lim_(x -> \infty) n*ln((n+1)/(n-1))=lim_(x -> \infty) n*ln((1+1/n)/(1-1/n))=lim_(x -> \infty) n*(ln(1+1/n)-ln(1-1/n))$

e a questo punto sviluppando si arriva al risultato che è $2$.

[lobacevskij]

D'altra parte potevo ragionare fin dal primo passaggio in questo modo:

$ ln(n+1)=ln(n*(1+1/n))=ln(n)+ln(1+1/n)$

e, dopo lo sviluppo del secondo logaritmo, si arrivava al medesimo risultato.

Dunque è corretto dire che $ ln(n+1)=ln(n)+1/n+o(1/n)$ ?

Credo proprio di si, ma una conferma non mi spiacerebbe

PS: e se volessi sviluppare $ln(n)$ (quando $n->\infty$)?