Sviluppo in serie. Taylor. Significato.

[Bernulli94]

Qual'è il significato dello sviluppo in serie? Cioè, quando sviluppo in serie una funzione, che sto facendo nella pratica?

[Bernulli94]

Quindi con Taylor, trasformiamo la funzione in un polinomio?

[Epimenide93]

"Bernulli94":Quindi con Taylor, trasformiamo la funzione in un polinomio?

La domanda è posta male, attento a non fare confusione. Il polinomio di Taylor è un polinomio, e approssima la funzione intorno ad un punto a meno di un resto, stimabile con determinate formule. Lo sviluppo in serie di Taylor (effettuabile sotto ipotesi decisamente più restrittive) rappresenta esattamente la funzione che stai sviluppando in forma di serie di potenze, ma non hai comunque per le mani un polinomio, in quanto un polinomio ha per definizione solo una quantità finita di coefficienti non nulli.

[Bernulli94]

Ma alle classiche domande "qual'è il suo significato geometrico (o analitico)?" cosa dovrei rispondere?

[Epimenide93]

Se parliamo del polinomio di Taylor di grado \(n\) della funzione \(f\) sviluppato in \(x_0\), è il polinomio di grado \(n\) che meglio approssima \(f\) intorno a \(x_0\).

Se parliamo dello sviluppo in serie di Taylor della funzione \(f\), è l'espressione di \(f\) come serie di potenze, ma è sempre la tua \(f\), solo scritta in un altro modo.

[ot]Nota grammaticale: "qual" è un troncamento, non prende l'apostrofo.[/ot]