Sviluppo in serie di taylor nel campo complesso
Salve a tutti voi del forum. Sono alle prese con il seguente esercizio, di cui vi posto la mia soluzione:
Data la funzione: $ f(z) = (e^(iz) - e) / (z^2 + 1)^2 $. Si determini il raggio di convergenza della serie di Taylor di f di punto iniziale $ (i+1)/2 $. Le possibili soluzioni sono: a) $ sqrt(2)/2 $, b) $1/2$, c) $ +infty $, d) $sqrt(2)$
Allora essendo la funzione in $ C\\{+i,-i} $ olomorfa, se si considera un cerchio C di raggio arbitrario centrato in $ (i+1)/2 $, essa può essere sviluppata come una serie di potenze di centro tale punto, e raggio di convergenza almeno pari alla distanza tra il pt e la frontiera di C. Per cui è lecito scrivere:
$ f(z) = sum_(n = 0)^(+infty) a_(n)*(z - (i+1)/2) $ con $ a_(n) = f^((n)) ((i+1)/2)/(n!) $
Applico poi il teorema di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio, ed ho:
$ lim_(n -> +infty) (|a_(n)|)^(1/n) = 0 $
Da cui si ha che il raggio di convergenza è più $ infty $. Il punto è che il prof tra le soluzioni ha barrato $ sqrt(2)/2 $.
Come mai secondo voi? Grazie
Data la funzione: $ f(z) = (e^(iz) - e) / (z^2 + 1)^2 $. Si determini il raggio di convergenza della serie di Taylor di f di punto iniziale $ (i+1)/2 $. Le possibili soluzioni sono: a) $ sqrt(2)/2 $, b) $1/2$, c) $ +infty $, d) $sqrt(2)$
Allora essendo la funzione in $ C\\{+i,-i} $ olomorfa, se si considera un cerchio C di raggio arbitrario centrato in $ (i+1)/2 $, essa può essere sviluppata come una serie di potenze di centro tale punto, e raggio di convergenza almeno pari alla distanza tra il pt e la frontiera di C. Per cui è lecito scrivere:
$ f(z) = sum_(n = 0)^(+infty) a_(n)*(z - (i+1)/2) $ con $ a_(n) = f^((n)) ((i+1)/2)/(n!) $
Applico poi il teorema di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio, ed ho:
$ lim_(n -> +infty) (|a_(n)|)^(1/n) = 0 $
Da cui si ha che il raggio di convergenza è più $ infty $. Il punto è che il prof tra le soluzioni ha barrato $ sqrt(2)/2 $.
Come mai secondo voi? Grazie
Risposte
La funzione ha due poli: $i$ e $-i$. Quindi non può essere sviluppabile in serie di potenze su tutto $\mathbb{C}$. Il raggio di convergenza è pari alla distanza tra il punto in cui sviluppi e la frontiera del dominio,
\[
\bigg|\frac{i+1}{2}-i\bigg|.
\]
\[
\bigg|\frac{i+1}{2}-i\bigg|.
\]
Guarda innanzitutto non ho parlato di tutto C, ma C privato dei due poli $ i $ e $ -i $, seconda cosa nonostante io scelga come dominio un cerchio C in cui f è olomorfa, o un qualsiasi aperto, il th che dimostra l'analicità di una funzione olomorfa in tali hp, suppone che il raggio sia almeno pari alla distanza tra il punto e la frontiera dell'insieme scelto. Per cui non è detto che coincida con la distanza tra il centro e la frontiera, può anche essere maggiore (cosa che usi per il prolungamento analitico)
Scusami ho frainteso tutto, tu intendevi l'insieme di definizione con dominio giusto? Scusa veramente ho capito una cosa per un altra. Ora mi trovo, grazie!
Riccardo anche io sto facendo lo stesso identico esercizio, ho capito che prova è , per fortuna hai già aperto un topic tu
potresti aiutarmi qui dato che faccio riferimento alla stessa prova di esame?
viewtopic.php?f=36&t=157885
potresti aiutarmi qui dato che faccio riferimento alla stessa prova di esame?
viewtopic.php?f=36&t=157885
Segui anche tu il corso di metodi matematici del professore Alvino a Napoli?
Comunque, non esiterò ad aiutarti, solo che non ho ancora studiato il capitolo riguardanti le serie di fourier... Appena posso vedrò di aiutarti !!!
Comunque, non esiterò ad aiutarti, solo che non ho ancora studiato il capitolo riguardanti le serie di fourier... Appena posso vedrò di aiutarti !!!
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