Sviluppo in serie di taylor in $R^2$ e matrice jacobiana
salve!
sistema di eq. differenziale del secondo ordine:
$x'' = sin (2 \pi (x+y)) + \alpha x$
$y'' = 2 x + a y$
la parte di trovare punti stazionari l'ho fatta ed è lunghetta da scrivere, ma chi vuole dargli una sbirciatina posso scriverlo in spoiler dal momento che non è l'argomento del mio topic . . .
Nel frattempo:
devo linearizzare intorno all'origine.
specialmente:
$sin (2 \pi (x+y)$
$\nabla sin (2 \pi (x+y)) = (2 \pi cos (2 \pi (x+y)) , 2 \pi cos (2 \pi (x+y)))$
calcolato in $(0,0)$ ottengo:
$\nabla = (1,1) *2 \pi$
matrice jacobiana:
$H = ((-4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y)) , -4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y))),(-4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y)), -4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y))))$
$H(0,0)=0$
allora diventa:
$sin (2 \pi (x+y)) = 0 + 2 \pi ((1),(1)) (x,y) + 0 (x,y)*(x,y) = 2 \pi (x+y)$
come dovevo immaginare...il seno e l'argomento sono approssimabili..
riscrivo il sistema con le sue ausiliari.
$\dot x = v$
$\dot y = w$
$\dot v = 2 \pi (x+y) + \alpha x$
$\dot w = 2 x + a y$
scrivo la matrice dei coefficienti e la indico con A, mentre con G indico la matrice delle derivate in colonna delle parti non lineari...
dopo aver linearizzato il sin (nel nostro esercizio) non si presentano ulteriori pezzi non-lineari (ma potrebbero sempre saltarne fuori qualcuno appunto dalla linearizzazione stessa...) e dunque ottengo una matrice $G = 0$ e inoltre
$\nabla G(0,0) = 0$ di conseguenza.
mentre:
$A = ((0,0,1,0),(0,0,0,1),(2 \pi + \alpha, 2 \pi, 0, 0),(2,a,0,0))$
a questo punto dovrei trovare gli autovalori di A e discutere i punti critici...a quanto pare questa matrice NON è diagonalizzabile nel campo reale, bensì in quello complesso e tal matrice si chiama semi-semplice.
il polinomio caratteristico che ne viene fuori, utilizzando laplace, è (a meno di errori..):
$lambda^4 + (-2 \pi - \alpha - a) lambda^2 + (2 \pi + alpha) a - 4 \pi = 0$
se pongo $alpha = a = 0$ vengono due soluzioni reali e due complesse ....
Qualcuno può darmi una dritta se la risoluzione funge?
sistema di eq. differenziale del secondo ordine:
$x'' = sin (2 \pi (x+y)) + \alpha x$
$y'' = 2 x + a y$
la parte di trovare punti stazionari l'ho fatta ed è lunghetta da scrivere, ma chi vuole dargli una sbirciatina posso scriverlo in spoiler dal momento che non è l'argomento del mio topic . . .
Nel frattempo:
devo linearizzare intorno all'origine.
specialmente:
$sin (2 \pi (x+y)$
$\nabla sin (2 \pi (x+y)) = (2 \pi cos (2 \pi (x+y)) , 2 \pi cos (2 \pi (x+y)))$
calcolato in $(0,0)$ ottengo:
$\nabla = (1,1) *2 \pi$
matrice jacobiana:
$H = ((-4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y)) , -4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y))),(-4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y)), -4 \pi^2 sin (2 \pi (x+y))))$
$H(0,0)=0$
allora diventa:
$sin (2 \pi (x+y)) = 0 + 2 \pi ((1),(1)) (x,y) + 0 (x,y)*(x,y) = 2 \pi (x+y)$
come dovevo immaginare...il seno e l'argomento sono approssimabili..
riscrivo il sistema con le sue ausiliari.
$\dot x = v$
$\dot y = w$
$\dot v = 2 \pi (x+y) + \alpha x$
$\dot w = 2 x + a y$
scrivo la matrice dei coefficienti e la indico con A, mentre con G indico la matrice delle derivate in colonna delle parti non lineari...
dopo aver linearizzato il sin (nel nostro esercizio) non si presentano ulteriori pezzi non-lineari (ma potrebbero sempre saltarne fuori qualcuno appunto dalla linearizzazione stessa...) e dunque ottengo una matrice $G = 0$ e inoltre
$\nabla G(0,0) = 0$ di conseguenza.
mentre:
$A = ((0,0,1,0),(0,0,0,1),(2 \pi + \alpha, 2 \pi, 0, 0),(2,a,0,0))$
a questo punto dovrei trovare gli autovalori di A e discutere i punti critici...a quanto pare questa matrice NON è diagonalizzabile nel campo reale, bensì in quello complesso e tal matrice si chiama semi-semplice.
il polinomio caratteristico che ne viene fuori, utilizzando laplace, è (a meno di errori..):
$lambda^4 + (-2 \pi - \alpha - a) lambda^2 + (2 \pi + alpha) a - 4 \pi = 0$
se pongo $alpha = a = 0$ vengono due soluzioni reali e due complesse ....
Qualcuno può darmi una dritta se la risoluzione funge?
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