Sviluppo in serie di Taylor e di Laurent

[AlyAly2]

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
Scrivere i possibili svilppi in serie di Taylor e di Laurent di $ f(z)=1/z^8 $ centrata in $ z_p=3i $
Per quanto riguarda capire dove è sviluppabile in serie di Taylor e dove in serie di laurent penso di averlo capito, ho trovato che è sviluppabile in serie di Taylor all'interno dell'insieme $ E={z in CC : |z-3i|<3} $
mentre in serie di Laurent è sviluppabile in $ CC - E $
però poi non ho capito come scrivere i due sviluppi...qualcuno mi potrebbe aiutare?grazie mille in anticipo!!!!!!

[j18eos]

Inizia a rivedere la serie di Laurent, in quanto in questo caso non devi fare quasi nulla!

[AlyAly2]

Il punto è che non so proprio come si deve procedere,mi potresti spiegare come devo ragionare?

[gugo82]

Per lo sviluppo di Taylor, la cosa si risolve come nel caso di variabile reale, ossia calcolando esplicitamente i coefficienti con la definizione (cosa facilissima, perchè hai a che fare con una funzione potenza).

Per quanto riguarda lo sviluppo di Laurent, il fatto che la tua funzione riesca olomorfa intorno a [tex]$3\imath$[/tex] ed anche in [tex]$3\imath$[/tex] non ti dice proprio nulla?

[AlyAly2]

Forse poichè $ 3i $ non è un punto singolare lo sviluppo di Taylor coincide con quello di Laurent?

[gugo82]

"AlyAly":Forse poichè $ 3i $ non è un punto singolare lo sviluppo di Taylor coincide con quello di Laurent?

Risposta esatta... Ma è meglio dire che lo sviluppo di Laurent si riduce allo sviluppo di Taylor.

Dopotutto, lo sviluppo di Laurent serve "a metterti davanti agli occhi, in tutto il suo splendore" la parte singolare di una funzione in un punto [tex]$z_0$[/tex] (i.e. quella data dalla somma delle potenze negative [tex]$\tfrac{1}{(z-z_0)^n}$[/tex])... Ma se la tua funzione è olomorfa in [tex]$z_0$[/tex] non può avere parte singolare, ossia lo sviluppo in serie di Laurent deve essere privo di potenze negative di [tex]$z-z_0$[/tex] e perciò ridursi all'ordinario sviluppo in serie di Taylor.

[AlyAly2]

Capito!!Grazie mille dell'aiuto!!