Sviluppo in serie di Taylor di f(x,y)

[vitoge478]

Data una f(x,y) se si scrive lo sviluppo in serie di Taylor "viene fuori" un termine con derivate terze miste che ha un 3 davanti.

Qualcuno può spiegarmi perchè o magari linkarmi qualche sito per approfondire?
Ci dovrebbe andare di mezzo il Teorema di Schwartz ma non l'ho capito bene.

Grazie.

[Quinzio]

Quei coefficienti che compaiono davanti alle derivate sono i coefficienti binomiali.

[vitoge478]

A parte la regola mnemonica per ricordare i coefficienti, vorrei sapere come si "genera" il coefficiente 3 prima delle derivate terze miste

"Quinzio":

$$
\begin{aligned}
3f_{xxy}(x, y) (\Delta x)^2 \Delta y + 3f_{xyy}(x, y) \Delta x (\Delta y)^2
\end{aligned}
$$

[gugo82]

Formalmente, viene fuori da una sorta di "potenza simbolica", cioè da un'espressione operatoriale del tipo:

$"d"^3 = [Delta x del_x + Delta y del_y]^3$

per l'operatore di differenziale terzo, che si sviluppa come un cubo di binomio:

$"d"^3 = (Delta x)^3 del_(x x x) + 3 (Delta x)^2 Delta y del_(x x y) + 3 Delta x (Delta y)^2 del_(x y y) + (Delta y)^3 del_(y y y)$

e fornisce la giusta combinazione di derivate da applicare ad $f$ per ottenere quel che ti interessa.

Lo stesso trucco formale ti consente di calcolare la corretta combinazione di derivate da applicare ad $f$ per ottenere $"d"^n f$ (il differenziale $n$-esimo).