Sviluppo in serie di Taylor del seno
Come mai nella serie compare sempre il segnante (-1)^n ? Cosa rappresenta? Nel corrispondente polinomio di Taylor del seno avevo capito che quel +\- 1 era proprio il valore assunto dalle derivate successive del seno calcolate in x = 0 ( sen,cos, -sen,-cos,sen,cos,-sen ......etc....)
Ma la serie di Taylor è valida in ogni punto x , non solo nel punto base x=0 , per cui non capisco come mai le derivate successive che compaiono negli addenti continuano a valere +\- 1
Grazie
Ma la serie di Taylor è valida in ogni punto x , non solo nel punto base x=0 , per cui non capisco come mai le derivate successive che compaiono negli addenti continuano a valere +\- 1
Grazie
Risposte
"olanda2000":
Ma la serie di Taylor è valida in ogni punto x , non solo nel punto base x=0 ,
Aspetta un attimo ... scrivici per favore la serie di Taylor generica e quella centrata in $x=0$ ...
Ciao olanda2000,
Come dovresti sapere, lo sviluppo in serie di Taylor è il seguente:
$sum_{n = 0}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n $
ove $a_n := frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $. Nel caso specifico occorre calcolare le derivate della funzione $ sin x $ e si ha:
$f^{(0)}(x) := f(x) = sin x \implies f^{(0)}(x_0) = sin(x_0) $
$f^{(1)}(x) = cos x \implies f^{(1)}(x_0) = cos(x_0) $
$f^{(2)}(x) = -sin x \implies f^{(2)}(x_0) = -sin(x_0) $
$f^{(3)}(x) = -cos x \implies f^{(3)}(x_0) = -cos(x_0) $
$f^{(4)}(x) = sin x \implies f^{(4)}(x_0) = sin(x_0) $
poi il ciclo si ripete (siamo tornati alla funzione di partenza). E' chiaro che se $x_0 = 0 $ si ottiene lo sviluppo in serie di Colin Maclaurin che siamo abituati ad usare, infatti si ha:
$f^{(0)}(x_0) := f(x_0) = sin(x_0) \implies f^{(0)}(0) = 0$
$f^{(1)}(x_0) = cos(x_0) \implies f^{(1)}(0) = 1$
$f^{(2)}(x_0) = -sin(x_0) \implies f^{(2)}(0) = 0$
$f^{(3)}(x_0) = -cos(x_0) \implies f^{(3)}(0) = - 1$
$f^{(4)}(x_0) = sin(x_0) \implies f^{(4)}(0) = 0 $
Perciò si ha:
$sin x = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f^{(0)}(0)x^0 + frac{f^{(1)}(0)}{1!} x^1 + frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + ... = $
$ = x + frac{0}{2!} x^2 + frac{- 1}{3!} x^3 + frac{0}{4!} x^4 + ... = x - frac{x^3}{6} + ... $
e questo spiega perché le potenze pari di $x$ sono tutte nulle, mentre quelle dispari sono alternativamente positive e negative e quindi la ragione del $(-1)^{n} $ che nei testi di qualche tempo fa veniva scritto $(-)^{n} $ (notazione che personalmente non mi dispiace... )
Come dovresti sapere, lo sviluppo in serie di Taylor è il seguente:
$sum_{n = 0}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n $
ove $a_n := frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $. Nel caso specifico occorre calcolare le derivate della funzione $ sin x $ e si ha:
$f^{(0)}(x) := f(x) = sin x \implies f^{(0)}(x_0) = sin(x_0) $
$f^{(1)}(x) = cos x \implies f^{(1)}(x_0) = cos(x_0) $
$f^{(2)}(x) = -sin x \implies f^{(2)}(x_0) = -sin(x_0) $
$f^{(3)}(x) = -cos x \implies f^{(3)}(x_0) = -cos(x_0) $
$f^{(4)}(x) = sin x \implies f^{(4)}(x_0) = sin(x_0) $
poi il ciclo si ripete (siamo tornati alla funzione di partenza). E' chiaro che se $x_0 = 0 $ si ottiene lo sviluppo in serie di Colin Maclaurin che siamo abituati ad usare, infatti si ha:
$f^{(0)}(x_0) := f(x_0) = sin(x_0) \implies f^{(0)}(0) = 0$
$f^{(1)}(x_0) = cos(x_0) \implies f^{(1)}(0) = 1$
$f^{(2)}(x_0) = -sin(x_0) \implies f^{(2)}(0) = 0$
$f^{(3)}(x_0) = -cos(x_0) \implies f^{(3)}(0) = - 1$
$f^{(4)}(x_0) = sin(x_0) \implies f^{(4)}(0) = 0 $
Perciò si ha:
$sin x = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f^{(0)}(0)x^0 + frac{f^{(1)}(0)}{1!} x^1 + frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + ... = $
$ = x + frac{0}{2!} x^2 + frac{- 1}{3!} x^3 + frac{0}{4!} x^4 + ... = x - frac{x^3}{6} + ... $
e questo spiega perché le potenze pari di $x$ sono tutte nulle, mentre quelle dispari sono alternativamente positive e negative e quindi la ragione del $(-1)^{n} $ che nei testi di qualche tempo fa veniva scritto $(-)^{n} $ (notazione che personalmente non mi dispiace... )
Ho capito, quindi la serie così scritta semplificata vale solo nell'intorno del punto base x=0 , mentre ad es. nel punto base x=1 la serie contiene tutti i termini ,sia potenze pari che dispari ( ho controllato su wolfram alfa). Ho notato una imprecisione nello sviluppo di wolfram: ad es. il resto di peano del polinomio T3 è un o(X^4) perchè sappiamo che T3 = T4 per cui si guadagna un ordine di approssimazione, però se sviluppo sin(x) nel punto base x=1 dove il polinomio contiene tutte le potenze come mai il resto R6 è o(x^7) ? Non dovrebbe essere o(x^6) ? Cioè non ci dovrebbe essere il guadagno! grazie
@pilloeffe
[ot]Scusami, ma se continui a scrivere le soluzioni dall'inizio alla fine, virgole comprese, parte dello scopo del forum "svanisce" ... non ti viene mai il dubbio che le stesse cose che scrivi avrebbero potuto essere scritte da chi ti ha preceduto, il quale però non lo ha fatto per invogliare l'OP a compiere lui lo sforzo, quantomeno di provarci?
[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Scusami, ma se continui a scrivere le soluzioni dall'inizio alla fine, virgole comprese, parte dello scopo del forum "svanisce" ... non ti viene mai il dubbio che le stesse cose che scrivi avrebbero potuto essere scritte da chi ti ha preceduto, il quale però non lo ha fatto per invogliare l'OP a compiere lui lo sforzo, quantomeno di provarci?
[/ot]Cordialmente, Alex
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