Sviluppo in serie di Taylor
"Scrivere lo sviluppo in serie di Taylor, con centro in x0=2 della funzione f(x)=xe^3x
Calcolare inoltre f(diciasettesima) in 2" - intende derivata di ordine 17 in x=2.
C'è qualcuno così gentile da aiutarmi a capire come si fa questo sviluppo please? Giovedì ho l'esame.... aiutoooo
Calcolare inoltre f(diciasettesima) in 2" - intende derivata di ordine 17 in x=2.
C'è qualcuno così gentile da aiutarmi a capire come si fa questo sviluppo please? Giovedì ho l'esame.... aiutoooo
Risposte
Allora, da analisi 1 sono passati 4 anni ma penso di ricordarmi come si fa:
prima calcoli quanto vale la $f(x)$ in $2$:
$f(2)=2e^6$
poi calcoli $f'(x)$ e la valuti in $2$:
$f'(x)=e^{3x}+3xe^{3x}$
$f'(2)=e^{6}+6e^{6}=7e^6$
poi calcoli $f''(x)$ e la valuti in $2$:
$f''(x)=3e^{3x}+3e^{3x}+9xe^{3x}....$
$f'(2)=6e^{6}+18e^{6}=24e^6$
e così via con le altre perciò lo sviluppo sarà:
$f(x)=2e^6+7e^6(x-2)+24e^6(x-2)^2$
per la seconda parte ci sto arrivando...
prima calcoli quanto vale la $f(x)$ in $2$:
$f(2)=2e^6$
poi calcoli $f'(x)$ e la valuti in $2$:
$f'(x)=e^{3x}+3xe^{3x}$
$f'(2)=e^{6}+6e^{6}=7e^6$
poi calcoli $f''(x)$ e la valuti in $2$:
$f''(x)=3e^{3x}+3e^{3x}+9xe^{3x}....$
$f'(2)=6e^{6}+18e^{6}=24e^6$
e così via con le altre perciò lo sviluppo sarà:
$f(x)=2e^6+7e^6(x-2)+24e^6(x-2)^2$
per la seconda parte ci sto arrivando...
Ciao, spiegato terra terra
lo sviluppo in serie di Taylor è dato da:
il primo termine è il valore della funzione nel punto prescelto (nel tuo caso in $x0=2$), quindi $2e^6$
poi il secondo termine è dato dalla derivata prima sempre nel punto prescelto e la si moltiplica per $(x- x0)$, ossia sempre nel tuo caso con $x0=2$ diventa: $(e^6 + 6e^6)(x-2)= 7e^6(x-2)$;
poi continui con il terzo termine della serie che è dato dalla deivata seconda sempre nel punto e la si moltiplica per $(x-x0)^2/(2!)$
ossia: $((3e^6 + 3e^6 + 18e^6)(x-2)^2)/(2!) = ((24e^6)(x-2)^2)/(2!)
ecc....ecc....
ricapitolando diventa:
$f(x) = 2e^6 + 7e^6(x-2) + 24e^6(x-2)^2/2! + ...$
in pratica poi continuerai trovando gli altri termini sempre allo stesso modo, ossia il quarto termine sarà dato dalla derivata terza nel punto moltiplicata per $(x-x0)^3/(3!)$, poi il quinto termine che sarà la derivata quarta nel punto moltiplicata per $(x-x0)^4/(4!)$ e così via....
lo sviluppo in serie di Taylor è dato da:
il primo termine è il valore della funzione nel punto prescelto (nel tuo caso in $x0=2$), quindi $2e^6$
poi il secondo termine è dato dalla derivata prima sempre nel punto prescelto e la si moltiplica per $(x- x0)$, ossia sempre nel tuo caso con $x0=2$ diventa: $(e^6 + 6e^6)(x-2)= 7e^6(x-2)$;
poi continui con il terzo termine della serie che è dato dalla deivata seconda sempre nel punto e la si moltiplica per $(x-x0)^2/(2!)$
ossia: $((3e^6 + 3e^6 + 18e^6)(x-2)^2)/(2!) = ((24e^6)(x-2)^2)/(2!)
ecc....ecc....
ricapitolando diventa:
$f(x) = 2e^6 + 7e^6(x-2) + 24e^6(x-2)^2/2! + ...$
in pratica poi continuerai trovando gli altri termini sempre allo stesso modo, ossia il quarto termine sarà dato dalla derivata terza nel punto moltiplicata per $(x-x0)^3/(3!)$, poi il quinto termine che sarà la derivata quarta nel punto moltiplicata per $(x-x0)^4/(4!)$ e così via....
ah si mi ero dimenticata il fattoriale a denominatore!! cmq sia spero che sia chiaro.
Per quanto riguarda la derivata diciasettesima, ho trovato (facendo fino la derivata sesta) che viene fuori una regola generale e cioè la derivata n-esima ha la forma:
$f^{(n)}(x)=(2*3^{(n-1)}+(n-2)*3^{n-2})e^{3x}+3^{(n-1)}xe^{3x}$
che per n= 17 è:
$f^{(17)}(x)=(2*3^{(16)}+15*3^{15})e^{3x}+3^{(16)}xe^{3x}$
valutata in $x=2$ viene
$f^{(17)}(2)=(2*3^16+15*3^15)e^{3x}+3^16*2e^{3x}=(4*3^16+14*3^15)e^6$
magari c'era un modo più semplice ma questo dovrebbe essere giusto...
Per quanto riguarda la derivata diciasettesima, ho trovato (facendo fino la derivata sesta) che viene fuori una regola generale e cioè la derivata n-esima ha la forma:
$f^{(n)}(x)=(2*3^{(n-1)}+(n-2)*3^{n-2})e^{3x}+3^{(n-1)}xe^{3x}$
che per n= 17 è:
$f^{(17)}(x)=(2*3^{(16)}+15*3^{15})e^{3x}+3^{(16)}xe^{3x}$
valutata in $x=2$ viene
$f^{(17)}(2)=(2*3^16+15*3^15)e^{3x}+3^16*2e^{3x}=(4*3^16+14*3^15)e^6$
magari c'era un modo più semplice ma questo dovrebbe essere giusto...
Innanzitutto grazie per la chiarezza e prontezza nell'aiutarmi, ma credo che non mi sia spiegato bene...
Quello che voi avete calcolato è proprio lo sviluppo di Taylor, mentre a me serve lo sviluppo in serie di Taylor della funzione. Provo a illustrarvi un esempio... (parliamo di serie di funzioni e relativa discussione di convergenza)
Data la funzione y=exp(1-x^2), il suo sviluppo in serie è exp(1) * Sommatoria di (-1)^n * x^2n / n!
(per n da 0 a inf.)
che si è calcolato tramite una sostituzione riconducendolo alla serie nota di exp(x)=Sommatoria di x^n/n!
0
Esiste poi una formula an=f(ennesima) di x0/n! con la quale credo si possa arrivare facilmente a calcolare qualsiasi derivata, ma per usarla devo prima trovare lo sviluppo in serie di quella funzione...
Avevo pensato di calcolare solo lo sviluppo di e^3x e poi moltiplicarlo semplicemente per x alla fine, ma non credo abbia molto senso dato che x non è un coefficiente numerico ma di fatto una funzione che moltiplica un'altra funzione...
Idee???
Ah Marty posso chiederti come si fanno a inserire caratteri matematici come hai fatto nel tuo post? grazie
Quello che voi avete calcolato è proprio lo sviluppo di Taylor, mentre a me serve lo sviluppo in serie di Taylor della funzione. Provo a illustrarvi un esempio... (parliamo di serie di funzioni e relativa discussione di convergenza)
Data la funzione y=exp(1-x^2), il suo sviluppo in serie è exp(1) * Sommatoria di (-1)^n * x^2n / n!
(per n da 0 a inf.)
che si è calcolato tramite una sostituzione riconducendolo alla serie nota di exp(x)=Sommatoria di x^n/n!
0
Esiste poi una formula an=f(ennesima) di x0/n! con la quale credo si possa arrivare facilmente a calcolare qualsiasi derivata, ma per usarla devo prima trovare lo sviluppo in serie di quella funzione...
Avevo pensato di calcolare solo lo sviluppo di e^3x e poi moltiplicarlo semplicemente per x alla fine, ma non credo abbia molto senso dato che x non è un coefficiente numerico ma di fatto una funzione che moltiplica un'altra funzione...
Idee???
Ah Marty posso chiederti come si fanno a inserire caratteri matematici come hai fatto nel tuo post? grazie
Ho intuito vagamente la tua richiesta ma in questo caso non ti posso aiutare adesso, dovrei riprendere in mano il libro e ragionarci su ma adesso sono in preda alla meccanica razionale...uff
per i caratteri matematici:
quello che scrivi lo devi mettere tra dollari.
Per le frazioni la stringa è: frac{numeratore}{denominatore}
per gli apici è: base^{esponente}
per i pedici è: base_{pedice}
se gli esponenti e i pedici hanno un solo carattere puoi anche evitare di mettere le graffe
per i caratteri matematici:
quello che scrivi lo devi mettere tra dollari.
Per le frazioni la stringa è: frac{numeratore}{denominatore}
per gli apici è: base^{esponente}
per i pedici è: base_{pedice}
se gli esponenti e i pedici hanno un solo carattere puoi anche evitare di mettere le graffe
"Marty84":
Per le frazioni la stringa è: frac{numeratore}{denominatore}
Basta mettere (a)/(b).
"franced":
[quote="Marty84"]
Per le frazioni la stringa è: frac{numeratore}{denominatore}
Basta mettere (a)/(b).[/quote]
ah ok, io in latex uso quella con frac
Hai bisogno della "formula" generale che rappresenti lo sviluppo in serie di Taylor?
questa che ho ricavato, dovrebbe essere corretta: sempre considerando il punto $x0=2$
$xe^3x =$
$= 2*e^6 *$ $sum _(n=0) ^(infty)$ $[3^n * ((x-2)^n)/(n!)]+$ $sum _(n=0) ^(infty)$ $[3^(n-1)*n*e^6 * ((x-2)^n)/(n!)]$
Spero sia quello che cerchi!
questa che ho ricavato, dovrebbe essere corretta: sempre considerando il punto $x0=2$
$xe^3x =$
$= 2*e^6 *$ $sum _(n=0) ^(infty)$ $[3^n * ((x-2)^n)/(n!)]+$ $sum _(n=0) ^(infty)$ $[3^(n-1)*n*e^6 * ((x-2)^n)/(n!)]$
Spero sia quello che cerchi!
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