Sviluppo in serie di McLaurin
salve, ho un esercizio di un compito che dice di calcolare lo sviluppo in serie di McLaurin di
[size=150]$f(x)=x^2(1-e^(-x^2))[/size]
il problema è che non ho idea di come fare ad iniziare, di solito io cerco di portarmi la mia funzioncina in una forma che assomigli a qualcosa che ho nelle tabelle notevoli che potete trovare qui: http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... ulario.pdf
però stavolta con questa funzione non riesco in nessuna maniera, tutto quello che ho fatto è stato questo:
[size=150]$f(x)=x^2-x^2e^(-x^2)[/size]
adesso non so più come andare avanti, sono io che non vedo nelle tabelle la funzione che mi ritrovo o cosa??
grazie...
[size=150]$f(x)=x^2(1-e^(-x^2))[/size]
il problema è che non ho idea di come fare ad iniziare, di solito io cerco di portarmi la mia funzioncina in una forma che assomigli a qualcosa che ho nelle tabelle notevoli che potete trovare qui: http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... ulario.pdf
però stavolta con questa funzione non riesco in nessuna maniera, tutto quello che ho fatto è stato questo:
[size=150]$f(x)=x^2-x^2e^(-x^2)[/size]
adesso non so più come andare avanti, sono io che non vedo nelle tabelle la funzione che mi ritrovo o cosa??
grazie...
Risposte
Basta che ricodi lo sviluppo di $e^t=1+t+t^2/2+t^3/6+\ldots$, sostituisci $t=-x^2$ e fai un po' di conti.
potrei quindi semplicemente scrivere che:
[size=150]$f(x)=x^2-x^2e^(-x^2)=\sum_{n=o}^(\+infty) ((-x)^(n+2))/(n!)$[/size] ???
mi sembra un po troppo facile e mi puzza anche, non credo di aver capito bene....
[size=150]$f(x)=x^2-x^2e^(-x^2)=\sum_{n=o}^(\+infty) ((-x)^(n+2))/(n!)$[/size] ???
mi sembra un po troppo facile e mi puzza anche, non credo di aver capito bene....
o forse sarebbe un po più vicino all'essere corretto questo??
[size=150]$f(x)=x^2-x^2e^(-x^2)=x^2-x^2\sum_{n=o}^(\+infty) ((-x)^(n+2))/(n!)$[/size]
ma non credo sarebbe completo anche se fosse correto, ci sarebbe ancora da andare avanti?
[size=150]$f(x)=x^2-x^2e^(-x^2)=x^2-x^2\sum_{n=o}^(\+infty) ((-x)^(n+2))/(n!)$[/size]
ma non credo sarebbe completo anche se fosse correto, ci sarebbe ancora da andare avanti?
Allora: $e^t=\sum_{k=0}^\infty t^k/{k!}$, da cui
$x^2(1-e^{-x^2})=x^2(1-\sum_{k=0}^\infty {(-x^2)^k}/{k!})=x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k-1} (x^{2k+2})}/{k!}$
che puoi scrivere in maniera più semplice, osservando che la prima potenza di $x$ è $4$, così
$x^4\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{(k+1)!}$.
Quello che avevi scritto tu ti puzzava perché era palesemente sbagliato!!!!
$x^2(1-e^{-x^2})=x^2(1-\sum_{k=0}^\infty {(-x^2)^k}/{k!})=x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k-1} (x^{2k+2})}/{k!}$
che puoi scrivere in maniera più semplice, osservando che la prima potenza di $x$ è $4$, così
$x^4\sum_{k=0}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{(k+1)!}$.
Quello che avevi scritto tu ti puzzava perché era palesemente sbagliato!!!!
non ho ben chiari gli ultimi passaggi che hai fatto,
$x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k-1} (x^{2k+2})}/{k!}$
in particolare quello che sta in mezzo a questi due, ho paura di dire altre castronerie, ma proviamo....
l' $1-1$ vanno via, e rimane
$x^2(-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})$
se è corretto, adesso dovrebbe diventare
$-x^2\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!}$
da adesso in poi come fai a portare dentro e poi nuovamente fuori?? scusa se ti chiedo troppo, ma se potessi illustrarmi meglio i passaggi spiegandomi il meccanismo per cui porti dentro e fuori dalla sommatoria variabili e quant'altro variando anche l'indice k te ne sarei molto grato...
$x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k-1} (x^{2k+2})}/{k!}$
in particolare quello che sta in mezzo a questi due, ho paura di dire altre castronerie, ma proviamo....
l' $1-1$ vanno via, e rimane
$x^2(-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})$
se è corretto, adesso dovrebbe diventare
$-x^2\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!}$
da adesso in poi come fai a portare dentro e poi nuovamente fuori?? scusa se ti chiedo troppo, ma se potessi illustrarmi meglio i passaggi spiegandomi il meccanismo per cui porti dentro e fuori dalla sommatoria variabili e quant'altro variando anche l'indice k te ne sarei molto grato...
dato che nessuno mi risponde io sto provando e riprovando a capire, ma non riesco.... secondo i miei ragionamenti e calcoli dovrebbe essere così:
$x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k+1} (x^{2k+2})}/{k!}$
e poi il resto davvero non riesco a comprenderlo.....
$x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k+1} (x^{2k+2})}/{k!}$
e poi il resto davvero non riesco a comprenderlo.....
"9600xt":
dato che nessuno mi risponde io sto provando e riprovando a capire, ma non riesco.... secondo i miei ragionamenti e calcoli dovrebbe essere così:
$x^2(1-1-\sum_{k=1}^\infty {(-1)^k x^{2k}}/{k!})=\sum_{k=1}^\infty {(-1)^{k+1} (x^{2k+2})}/{k!}$
e poi il resto davvero non riesco a comprenderlo.....
Ok, il risultato è questo.
Poi, volendo, puoi mettere un $x^4$ in evidenza, ma è un "di più" (che questo si possa effettivamente fare lo puoi vedere, ad esempio, scrivendo esplicitamente i primi due-tre termini della serie).
Inoltre, evidentemente, puoi riportare l'inidice iniziale a zero (se ti fa comodo) con la sostituzione $h=k-1$; infine $(-1)^(k+1)=(-1)^(k-1)$, quindi non c'è da preoccuparsi per i segni.
Se fai questi passaggi trovi l'espressione determinata da ciampax.
ok, adesso ci sono, è tutto più chiaro!!!! bastava poco... grazie mille.
un ultima domanda, se volessi calcolare il raggio di convergenza della serie, come dovrei procedere? io so che il raggio di convergenza della serie corrispondente a $e^t$ è $+\infty$, posso quindi dedurre da questo presupposto qualcosa o devo comunque calcolarlo??
un ultima domanda, se volessi calcolare il raggio di convergenza della serie, come dovrei procedere? io so che il raggio di convergenza della serie corrispondente a $e^t$ è $+\infty$, posso quindi dedurre da questo presupposto qualcosa o devo comunque calcolarlo??
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