Sviluppo in serie di Maclaurin \(\displaystyle \cos x^2 \)
Buonasera, devo sviluppare la funzione \(\displaystyle \cos x^2 \) all'ordine \(\displaystyle n=10 \) con resto di Peano. Premetto che sto studiando analisi da solo per cui ho ricordato lo sviluppo di \(\displaystyle \cos z \) ovvero:
\(\displaystyle \cos z = 1 -\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{z^{2m}}{(2m)!} + o(z^{2m+1}) \)
Inizialmente ho quindi sostituito \(\displaystyle x^2 = z \) ottenendo
\(\displaystyle \cos x^2 = 1 -\frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} -... + \frac{(x^2)^{20}}{20!} + o(x^{21}) \)
Ho capito che era sbagliato e che l'ordine doveva essere quello di x e non quello di z per cui ho rifatto i calcoli e mi è venuto:
\(\displaystyle \cos x = 1-\frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} +o(x^9) \) ma la soluzione da \(\displaystyle o(x^{10}) \).
Dove sbaglio? Potete gentilmente chiarirmi questo dubbio? Grazie!
\(\displaystyle \cos z = 1 -\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{z^{2m}}{(2m)!} + o(z^{2m+1}) \)
Inizialmente ho quindi sostituito \(\displaystyle x^2 = z \) ottenendo
\(\displaystyle \cos x^2 = 1 -\frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} -... + \frac{(x^2)^{20}}{20!} + o(x^{21}) \)
Ho capito che era sbagliato e che l'ordine doveva essere quello di x e non quello di z per cui ho rifatto i calcoli e mi è venuto:
\(\displaystyle \cos x = 1-\frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} +o(x^9) \) ma la soluzione da \(\displaystyle o(x^{10}) \).
Dove sbaglio? Potete gentilmente chiarirmi questo dubbio? Grazie!
Risposte
Il termine di quinto grado è nullo però nulla ti vieta di metterci un $o(z^5)$, poi sostituisci $z=x^2$ e hai $o(x^10)$
Adesso ho capito, forse mi è più chiaro. Cercherò di fare pratica e per eventuali problemi posterò qui sul forum. Grazie! 
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