Sviluppo in serie di MacLaurin, come procedo?

[ciccio83a]

Ciao a tutti, oggi ho fatto un esame dove c'era questo quesito che non ho saputo risolvere:

Calcolare la $ f^12(0) $ di: $ f(x)= (1+x^2)/(x^2+2)^2 $

Con opportune posizioni, l'ho scomposta come somma di due serie che hanno per somma $1/(1-t)$ (serie geometrica con $|t|<1 $) ottenendo alla fine queste 2 serie:

$ sum_(n = 1)^( +oo )(n(-1)^(n-1)) (x^(2(n-1)))/(2^(n+1))+ sum_(n = 1)^( +oo )(n(-1)^(n-1)) (x^(2n))/(2^(n+1)) $

Ammesso che questo risultato sia corretto, a questo punto per ottenere $ f^12(0)= a_n n! $ come dovrei procedere?
Grazie in anticipo per l'aiuto.

[faximusy]

Se non ho capito male devi semplicemente trovare lo sviluppo in MacLaurin fino al dodicesimo ordine.
Quindi devi calcolare fino alla derivata dodicesima di quella funzione e opportunamente inserire i valori nella formula di MacLaurin


Il risultato dovrebbe essere questo:

$- (5x^12)/256 + x^10/32 - x^8/64 + x^6/16 - x^4/16 + 1/4$

[Mathcrazy]

fino al 20°:

[tex]$\frac{1}{4}-\frac{x^4}{16}+\frac{x^6}{16}-\frac{(3 x^8)}{64}+\frac{x^{10}}{32}-\frac{(5 x^{12})}{256}+\frac{(3 x^{14})}{256}-\frac{(7 x^{16})}{1024}+\frac{x^{18}}{256}-\frac{(9 x^{20})}{4096}$[/tex]

La serie che la rappresenta è.

$ sum_(n=0)^(+oo)x^n (-1) (2^(-4-n/2) ((-i)^n+i^n) (-2+n))$