Sviluppo in serie di Mac Laurin
Di nuovo io.
Devo trovare lo sviluppo in serie di Mac Laurin per la funzione $f(x)= (2x)/(x^2-3x+2)$.
L'insieme x per cui vale l'ho trovato $x in (-1,1)$.
Quando devo trovare la serie però, io svolgo così:
$f(x) = 2/(1-x) - 2/(1-x/2) = 2 \sum_{n=0}^infty x^n - 2 \sum_{n=0}^infty (1/2)^n x^n$.
Sviluppando, trovo: $\sum_{n=0}^infty 2*(2^n - 2)/2^n x^n$ mentre il risultato dovrebbe essere $\sum_{n=0}^infty (2^n-1)/2^(n-1) x^n$.
Grazie in anticipo per la cortese attenzione.
Francesco
Devo trovare lo sviluppo in serie di Mac Laurin per la funzione $f(x)= (2x)/(x^2-3x+2)$.
L'insieme x per cui vale l'ho trovato $x in (-1,1)$.
Quando devo trovare la serie però, io svolgo così:
$f(x) = 2/(1-x) - 2/(1-x/2) = 2 \sum_{n=0}^infty x^n - 2 \sum_{n=0}^infty (1/2)^n x^n$.
Sviluppando, trovo: $\sum_{n=0}^infty 2*(2^n - 2)/2^n x^n$ mentre il risultato dovrebbe essere $\sum_{n=0}^infty (2^n-1)/2^(n-1) x^n$.
Grazie in anticipo per la cortese attenzione.
Francesco
Risposte
\[
2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}-2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}2x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{2^{n-1}}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}x^{n}
\]
2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}-2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}2x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{2^{n-1}}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}x^{n}
\]
Grazie mille. Spero che alla fine il mio prof, non sia uno stro...(parente [cit.]) tanto che i risultati possibili ce li dà in quel modo. Ci perderei più tempo a fare quei calcoli lì, che la vera e propria serie/sviluppo.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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