Sviluppo in serie di Laurent di $sin(1/(1+z^2))$
Salve a tutti, ho avuto qualche problema, la cui soluzione, forse troppo banale, non mi è ancora venuta agli occhi...:
devo determinare parte singolare $f_(sing)(z)$ e parte regolare $f_(reg)(z)$* della funzione analitica complessa $f(z)=sin(1/(1+z^2))$ sviluppata in serie di Laurent ($f(z)=\sum_{k=-oo}^oo d_k(z-z_0)^k$ dove $z_0$ è una singolarità di $f(z)$ ) nell'intorno delle due singolarità $z_1=i$ e $z_2=-i$. Inizialmente ho pensato di porre $t=1/(1+z^2)$ e sviluppare nell'intorno di $0$ ottenendo
$f(t)=\sum_{k=0}^oo ((-1)^k (t)^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!)$
da cui $f(z) = \sum_{k=0}^oo ((-1)^k (1/(1 + z^2))^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!)$ ma ho pensato subito che questa non dev'essere la strada giusta visto che non sono nella forma $f(z)=\sum_{k=-oo}^oo d_k(z-z_0)^k$ e ciò che sto cercando sono due sviluppi differenti in due punti differenti...
La definizione mi dice che i coefficienti $d_k$ sono dati dalla relazione $d_k=1/(2\pii)oint_(gamma)(f(z')dz')/(z'-z_0)^(k+1)$ (che non mi sogno nemmeno lontanamente di calcolare) e, nel caso $k>0$ si ha $d_k=(f^((k))(z_0))/(k!)$ che mi sarebbe molto utile se riuscissi a mostrare che $f_(sing)(z)=0$, alquanto improbabile in quanto $z_1$ e $z_2$ sono entrambi poli del prim'ordine...
allora...come posso andare avanti a questo punto? Qualche idea?
*per parte regolare e parte singolare di funzione intendo, per evitare eventuali ambiguità, due funzioni tali che $f(z) = f_(sing)(z)+f_(reg)(z)$ con $f_(sing)(z)=\sum_{k=-oo}^(-1) d_k(z-z_0)^k$ e $f_(reg)(z)=\sum_{k=0}^oo d_k(z-z_0)^k$
devo determinare parte singolare $f_(sing)(z)$ e parte regolare $f_(reg)(z)$* della funzione analitica complessa $f(z)=sin(1/(1+z^2))$ sviluppata in serie di Laurent ($f(z)=\sum_{k=-oo}^oo d_k(z-z_0)^k$ dove $z_0$ è una singolarità di $f(z)$ ) nell'intorno delle due singolarità $z_1=i$ e $z_2=-i$. Inizialmente ho pensato di porre $t=1/(1+z^2)$ e sviluppare nell'intorno di $0$ ottenendo
$f(t)=\sum_{k=0}^oo ((-1)^k (t)^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!)$
da cui $f(z) = \sum_{k=0}^oo ((-1)^k (1/(1 + z^2))^(1 + 2 k))/((1 + 2 k)!)$ ma ho pensato subito che questa non dev'essere la strada giusta visto che non sono nella forma $f(z)=\sum_{k=-oo}^oo d_k(z-z_0)^k$ e ciò che sto cercando sono due sviluppi differenti in due punti differenti...
La definizione mi dice che i coefficienti $d_k$ sono dati dalla relazione $d_k=1/(2\pii)oint_(gamma)(f(z')dz')/(z'-z_0)^(k+1)$ (che non mi sogno nemmeno lontanamente di calcolare) e, nel caso $k>0$ si ha $d_k=(f^((k))(z_0))/(k!)$ che mi sarebbe molto utile se riuscissi a mostrare che $f_(sing)(z)=0$, alquanto improbabile in quanto $z_1$ e $z_2$ sono entrambi poli del prim'ordine...
allora...come posso andare avanti a questo punto? Qualche idea?
*per parte regolare e parte singolare di funzione intendo, per evitare eventuali ambiguità, due funzioni tali che $f(z) = f_(sing)(z)+f_(reg)(z)$ con $f_(sing)(z)=\sum_{k=-oo}^(-1) d_k(z-z_0)^k$ e $f_(reg)(z)=\sum_{k=0}^oo d_k(z-z_0)^k$
Risposte
Niente? Faccio un up sperando possiate darmi una mano 
L'esercizio non mi pare semplice e, comunque, è certamente pieno di conti.
Innanzitutto, ad occhio, direi che le due singolarità non sono di tipo polare (visto che per [tex]$z\to \pm \imath$[/tex] si ha [tex]$\lvert \tfrac{1}{z^2+1}\rvert \to +\infty$[/tex] e che [tex]$\sin \zeta$[/tex] ha singolarità essenziale in [tex]$\zeta =\infty$[/tex], direi proprio che [tex]$\pm \imath$[/tex] sono singolarità essenziali per la tua funzione).
Poi ti chiedo se è proprio l'esercizio a chiederti di determinare lo sviluppo, o se è una tua strategia per risolvere qualcos'altro.
Se proprio vuoi, potresti provare a fare la sostituzione [tex]$\frac{1}{z-\imath} =\zeta$[/tex] ed a cercare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione ausiliaria [tex]$g(\zeta) = f(\imath +\frac{1}{\zeta})$[/tex] intorno a [tex]$\zeta =0$[/tex]; se lo riseci a determinare, basta sostituire a ritroso [tex]$\zeta =\tfrac{1}{z-\imath}$[/tex] per ottenere lo sviluppo di [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$\imath$[/tex].
Ovviamente, mutatis mutandis, si fa lo stesso per [tex]$-\imath$[/tex].
Innanzitutto, ad occhio, direi che le due singolarità non sono di tipo polare (visto che per [tex]$z\to \pm \imath$[/tex] si ha [tex]$\lvert \tfrac{1}{z^2+1}\rvert \to +\infty$[/tex] e che [tex]$\sin \zeta$[/tex] ha singolarità essenziale in [tex]$\zeta =\infty$[/tex], direi proprio che [tex]$\pm \imath$[/tex] sono singolarità essenziali per la tua funzione).
Poi ti chiedo se è proprio l'esercizio a chiederti di determinare lo sviluppo, o se è una tua strategia per risolvere qualcos'altro.
Se proprio vuoi, potresti provare a fare la sostituzione [tex]$\frac{1}{z-\imath} =\zeta$[/tex] ed a cercare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione ausiliaria [tex]$g(\zeta) = f(\imath +\frac{1}{\zeta})$[/tex] intorno a [tex]$\zeta =0$[/tex]; se lo riseci a determinare, basta sostituire a ritroso [tex]$\zeta =\tfrac{1}{z-\imath}$[/tex] per ottenere lo sviluppo di [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$\imath$[/tex].
Ovviamente, mutatis mutandis, si fa lo stesso per [tex]$-\imath$[/tex].
Grazie, perdonami ma sono i primi esercizi che faccio su questo argomento, non mi saltava all'occhio la singolarità all'infinito, abituato con le funzioni reali...
Ehm si, ho scritto una cavolata mentre scrivevo che erano poli del prim'ordine pensavo a $1/(1+z^2)$ ma l'esercizio è un altro
Riscrivo il testo dell'esercizio, così com'è, ho usato un approccio troppo complicato quando non era necessario:
"Lo studente ricavi la parte singolare e regolare, e la natura delle singolarità, della funzione analitica $f(z)=sin(1/(z^2+1))$"
thank u
Ehm si, ho scritto una cavolata mentre scrivevo che erano poli del prim'ordine pensavo a $1/(1+z^2)$ ma l'esercizio è un altro
Riscrivo il testo dell'esercizio, così com'è, ho usato un approccio troppo complicato quando non era necessario:
"Lo studente ricavi la parte singolare e regolare, e la natura delle singolarità, della funzione analitica $f(z)=sin(1/(z^2+1))$"
thank u
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