Sviluppo in serie di Laurent di funzione trigonometrica

[emesex-votailprof]

Salve a tutti,
dovrei calcolare lo sviluppo in serie di Laurent (o almeno i primi 2 termini dello sviluppo) di questa funzione [tex]{\frac {\sin \left( z \right) }{1-\cos \left( z \right) }}[/tex] in 0<|z|<1.
Quello che so è che è una funzione dispari, quindi i coefficienti pari della serie saranno zero. Ho pensato quindi al prodotto secondo cauchy di [tex]\sum _{n=0}^{\infty }a_{{n+1}}{z}^{n+1}[/tex] con [tex]\sum _{n=0}^{\infty }1/2\,{\frac { \left( -1 \right) ^{n}{z}^{2\,n+2}} { \left( 1+2\,n \right) !\, \left( n+1 \right) }}[/tex], che dovrebbe essere lo sviluppo di 1-cos(z). Il problema è però quello di eguagliare la serie prodotto di Cauchy con lo sviluppo in serie del seno e come fare a capire da che termine far partire la serie in base ai poli e agli zeri. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[gugo82]

La singolarità in [tex]$0$[/tex] è un polo del primo ordine, ergo la serie di Laurent è del tipo [tex]\sum_{n\geq -1} c_n\ z^n[/tex].
Il coefficiente [tex]$c_{-1}$[/tex], che è il residuo integrale in [tex]$0$[/tex], si calcola semplicemente con la nota formula:

[tex]$c_{-1}=\lim_{z\to 0} \frac{z\ \sin z}{1-\cos z}$[/tex],

in cui il limite si risolve applicando due limiti notevoli.

Per gli altri coefficienti, se ti interessano, puoi o calcolarli esplicitamente tenendo presente che essi sono i coefficienti di Taylor della perte regolare della tua funzione intorno a [tex]$0$[/tex], oppure con qualche procedimento di limite, ovvero con facendo il prodotto secondo Cauchy delle due serie che rappresentano [tex]$\sin z$[/tex] e [tex]$\tfrac{1}{1-\cos z}$[/tex] (la prima di Taylor, la seconda di Laurent) intorno a [tex]$0$[/tex].


P.S.: Visto che [tex]$\tfrac{1}{1-\cos z}$[/tex] ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$2$[/tex], non mi pare che quella trovata sia la corretta espansione in serie di Laurent... A meno che non ci sia un [tex]$-2$[/tex] all'esponente.

[soni5]

Ciao, vorrei riprendere questo post dato che mi è capitato di dover svolgere lo stesso esercizio e di aver incontrato difficoltà.
L'ho risolto col prodotto di Cauchy, ma in maniera un po' diversa e vorrei che mi conferemaste se è corretto o no.

Per prima cosa ho calcolato lo sviluppo di [tex]1 - \cos x[/tex] cioè [tex]1 - 1 - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} = -\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{(2m)!}z^{2m}[/tex] dove $m=n-1$.

Poi noto che la funzione [tex]\frac{1}{1-\cos z}[/tex] è pari quindi il suo sviluppo sarà del tipo [tex]\sum_{n=0}^{+\infty}a_{2n}z^{2n}[/tex].
Poi sfrutto il fatto che [tex](1-\cos z)\ \frac{1}{1-\cos z}=1[/tex] ed eseguo il prodotto di Cauchy [tex]-\sum_{m=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{m} \frac{(-1)^{m-p}}{(2m-2p)!}z^{2m-2p}a_{2p}z^{2p} = \sum_{m=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{m} \frac{(-1)^{m-p+1}}{(2m-2p)!}z^{2m}a_{2p} = 1[/tex]
da cui ricavo il seguente sistema di infinite equazioni
[tex]\left\{\begin{matrix}
a_0=-1\\ \sum_{p=0}^{m} \frac{(-1)^{m-p+1}}{(2m-2p)!}a_{2p} = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
E quindi alla fine sapendo che lo sviluppo del seno è [tex]\sin z = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/tex] la serie cercata è [tex]\frac{\sin z}{1- \cos z} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}a_{2n}z^{2n}[/tex]

E' corretto? grazie!

[soni5]

Gugo potresti darci un'occhiata tu!? Grazie!

[gugo82]

La funzione \(\frac{1}{1-\cos z}\) non può essere sviluppata in serie di Taylor con centro in \(0\) perchè essa non è nemmeno definita in tale punto (e quindi non vedo perchè si dovrebbe poter scrivere \(\frac{1}{1-\cos z} =\sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n}\ z^{2n}\)).
Insomma, commetti lo stesso errore di un anno fa... Inoltre, i prodotti secondo Cauchy che svolgi mi sembrano scritti male (ma potrebbe essere un problema notazionale).

Come già detto, la funzione \(\frac{1}{1-\cos z}\) è singolare in \(0\), presentandovi un polo del secondo ordine: pertanto essa si sviluppa in serie di Laurent intorno a \(0\) ed il suo svilupppo, tenendo conto della parità, è del tipo \(\sum_{n=-1}^{+\infty} a_{2n} z^{2n}\) (N.B.: il primo esponente è \(-2\)!).
D'altra parte si ha \(1-\cos z=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n}\) e prendendo il prodotto secondo Cauchy si trova:
\[\begin{split} (1-\cos z)\ \frac{1}{1-\cos z} &= \left( \sum_{n=-1}^{+\infty} a_{2n} z^{2n} \right)*\left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\ z^{2n} \right) \\ &= \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n-2} z^{2n-2} \right)*\left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!}\ z^{2n+2} \right) \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{(2h-2)+(2k+2)=2n} \frac{(-1)^k a_{2h-2}}{(2k+2)!}\ z^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{h+k=n} \frac{(-1)^k a_{2h-2}}{(2k+2)!}\ z^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^{n-h}a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!}\ z^{2n} \; ,\end{split}\]
e, dato che il primo membro è la funzione costante che assume valore \(1\), per il principio d'identità delle funzioni analitiche si ottiene la seguente ricorrenza per gli \(a_{2n}\):
\[\begin{cases} a_{-2}=2 \\ \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^{n-h} a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!} =0 &\text{, per } n\geq 1\; ,\end{cases}\]
ossia:
\[\begin{cases} a_{-2}=2 \\ a_{2n-2} =2\ \sum_{h=0}^{n-1} \frac{(-1)^{n-h} a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!} &\text{, per } n\geq 1\; .\end{cases}\]
In particolare, per \(n=1,2\) si trova:
\[ \begin{split} -\frac{a_{-2}}{24}+\frac{a_0}{2}&=0 \quad &\Rightarrow \quad a_0&=\frac{1}{6} \\ \frac{a_{-2}}{720}-\frac{a_0}{24}+\frac{a_2}{2}&=0 \quad &\Rightarrow \quad a_2&=\frac{1}{120} \; ,\end{split}\]
ed inoltre:
\[a_4 = \frac{1}{3024},\ a_6=\frac{1}{86400},\ a_8=\frac{1}{2661120},\ a_{10}=\frac{691}{59439744000}\; .\]
A questo punto, tenendo presente che \(\sin z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ z^{2n+1}\) e che la funzione \((\sin z)/(1-\cos z)\) è dispari ed ha un polo del primo ordine in \(0\), facciamo un altro prodotto secondo Cauchy:
\[\begin{split} \frac{\sin z}{1-\cos z} &= \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ z^{2n+1} \right) * \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n-2} z^{2n-2} \right) \\ &=\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{(2h+1)+(2k-2)=2n-1} \frac{(-1)^h a_{2k-2}}{(2h+1)!}\ z^{2n-1} \\ &=\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{h+k=n} \frac{(-1)^h a_{2k-2}}{(2h+1)!}\ z^{2n-1} \\ &=\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k} a_{2k-2}}{(2n-2k+1)!}\ z^{2n-1} \end{split}\]
sicché i coefficienti dispari della serie di Laurent di \((\sin z)/(1-\cos z)\) centrata in \(0\) sono dati da:
\[b_{2n-1} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k} a_{2k-2}}{(2n-2k+1)!} \qquad \text{per } n=0,1,\ldots\]
Ricordando l'espressione ricorrente degli \(a_{2k-2}\) possiamo anche scrivere:
\[ \begin{cases} b_{-1}=2 \\ b_{2n-1}= (-1)^n \frac{2}{(2n-1)!} +\sum_{k=1}^n (-1)^{n-k} \frac{2}{(2n-2k+1)!}\ \sum_{h=0}^{k-1} \frac{(-1)^{n-h} a_{2h-2}}{(2k-2h+2)!} &\text{, per } n\geq 1\; .\end{cases}\]

[soni5]

Ok, quindi devo stare attento all'ordine dei poli della funzione; vediamo se ho capito: se la funzione fosse stata invece [tex]\frac{1}{sin z}[/tex] che ha in [tex]0[/tex] un polo di primo ordine avrei potuto scrivere [tex]\frac{1}{sin z} =\sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n-1}\ z^{2n-1}[/tex] cosicché il primo esponente è [tex]-1[/tex].
Un'altra cosa, ho notato che hai ricavato anche i coefficienti [tex]b_{2n-1}[/tex] sono necessari ai fini dell'esercizio? Cioè, mi chiedevo se l'esercizio si può considerare concluso avendo scritto il sistema per ricavare gli [tex]a_{2n}[/tex]
[tex]\begin{cases} a_{-2}=2 \\ \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^{n-h} a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!} =0 &\text{, per } n\geq 1\; \end{cases}[/tex]
e la serie [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^{n-h}a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!}\ z^{2n}[/tex]?

[damianoct90]

Ciao gugo, scusami se riesumo il post, ma non conoscendo il principio di identità di funzioni perchè poni la seconda serie uguale a 0 mentre il primo coefficiente uguale a 1?
\[\begin{cases} a_{-2}=2 \\ \sum_{h=0}^n \frac{(-1)^{n-h} a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!} =0 &\text{, per } n\geq 1\; ,\end{cases}\]
ossia:

So benissimo che genera un sistema di infinite equazioni da cui si ricavano i coefficienti, ma la serie:
$sum_{h=0}^n (\frac{(-1)^{n-h} a_{2h-2}}{(2n-2h+2)!)*z^(2n)$
non rappresenta "i coefficienti" della serie prodotto? Volevo solo sapere perchè è posta uguale a zero perchè ci ho studiato tutto il giorno ma non ci sono arrivato.