Sviluppo in serie di laurent con qualche dubbio

[Uomosenzasonno]

Buona sera a tutti e buon anno! Spero che vi siate divertiti tutti ieri, anche se vedo un sacco di gente che come me si ritrova a studiare anche a capodanno... immagino abbiate esami imminenti un po tutti!

Volevo chiedere al forum dei chiarimenti riguardo il seguente esercizio:

Sia data la funzione di variabile complessa
$f(z)=(z-2)^2e^(1/(z+1))$
Scrivere tutti i possibili sviluppi in serie di Laurent centrata in $z_0=-1$ classificare il punto $z_0$ e determinare il residuo in quel punto

Allora io ho provato a svolgerlo così. Ho scritto $f(z)=g(z)h(z)$, con $g(z)=(z-2)^2$ e $h(z)=e^(1/(z+1))$.
Ho sviluppato separatamente le due funzioni: $g(z)$ in serie di Taylor centrata in $z_0=-1$, ottenendo:
$g(z) = 1 - 2(z+1) +(z+1)^2$
Per h(z), ho considerato che lo sviluppo in serie di McLaurin di $e^x=sum_(n = 0)^(+oo) x^n/(n!)$. In particolare ponendo $x=1/(z+1)$, ho ottenuto
$e^(1/(z+1)) = sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n)$
Da cui:
$f(z)=h(z)*g(z)=(1 - 2(z+1) +(z+1)^2)sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n)$
Fin quì credo di non aver commesso errori. Però non sono proprio sicuro che il ragionamento sia corretto, soprattutto per quanto riguarda lo svilupp dell'esponenziale. Sono aperto a critiche e chiarimenti.

Ora, si richiede scrivere lo sviluppo in serie di Laurent, il quale deve avere la forma $f(z)=sum_(n = -oo)^(+oo)a_n(z-z_0)^n$. Per scrivere lo sviluppo in questa forma, ho eseguito questo procedimento:

$f(z)=h(z)*g(z)=(1 - 2(z+1) +(z+1)^2)sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n) =$
$=sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n) -2sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^(n-1))+sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^(n-2))=$
$=sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n)-2sum_(n = 1)^(+oo)1/(n!(z+1)^(n-1))-2/(z+1)^-1 + sum_(n = 2)^(+oo)1/(n!(z+1)^(n-2))+1/(z+1)^-2+1/(z+1)^-1=$
$=sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n)-2sum_(k = 0)^(+oo)1/((k+1)!(z+1)^k)+sum_(h = 0)^(+oo)1/((h+2)!(z+1)^h)+(z+1)^2-(z+1))=$
$=sum_(chi = 0)^(+oo)((1/(chi!)-2/((chi+1)!)+1/((chi+2)!))*1/(z+1)^chi)+(z+1)^2-(z+1))$

Ora ho che $a_n = (1/(n!)-2/((n+1)!)+1/((n+2)!))$ (ovviamente per $n<=0$da cui, prendendo $a_-1$, ho il residuo. Inoltre $z_0=-1$ è una singolarità essenziale avendo un numero infinito di $a_n != 0$ con $n<0$

Tutto corretto?

[Sk_Anonymous]

Meglio con un artificio:

$g(z)=(z-2)^2 rarr g(z)=[(z+1)-3]^2 rarr g(z)=9-6(z+1)+(z+1)^2$

Del resto:

$\{(g(z)=(z-2)^2),(g'(z)=2(z-2)),(g''(z)=2):} rarr \{(g(-1)=9),(g'(-1)=-6),(g''(z)=2):} rarr g(z)=9-6(z+1)+(z+1)^2$

$h(z)=e^(1/(z+1)) = sum_(n = 0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n)$ è corretto.

[Uomosenzasonno]

Si sentono i postumi di capodanno, mamma mia, nemmeno a fare le addizioni sono buono! Scusa ma se io volessi scrivere $h(z)$ come somma per $n in ]-oo,0]$ è possibile farlo in qualche modo? perché quel fattoriale mi mette in difficoltà

[Sk_Anonymous]

$f(z)=(z-2)^2e^(1/(z+1)) rarr$

$rarr f(z)=[9-6(z+1)+(z+1)^2]sum_(n=0)^(+oo)1/(n!(z+1)^n) rarr$

$rarr f(z)=sum_(n=0)^(+oo)9/(n!(z+1)^n)+sum_(n=0)^(+oo)(-6)/(n!(z+1)^(n-1))+sum_(n=0)^(+oo)1/(n!(z+1)^(n-2)) rarr$

$rarr f(z)=sum_(n=0)^(+oo)9/(n!(z+1)^n)-6(z+1)+sum_(n=0)^(+oo)(-6)/((n+1)!(z+1)^n)+(z+1)^2+(z+1)+sum_(n=0)^(+oo)1/((n+2)!(z+1)^n) rarr$

$rarr f(z)=(z+1)^2-5(z+1)+sum_(n=0)^(+oo)[9/(n!)-6/((n+1)!)+1/((n+2)!)]1/(z+1)^n$

Anche se non ne comprendo la necessità, vorresti esprimere la serie come $[sum_(n=-oo)^(0)a_n]$? Presto fatto:

$f(z)=(z+1)^2-5(z+1)+sum_(n=-oo)^(0)[9/((-n)!)-6/((-n+1)!)+1/((-n+2)!)](z+1)^n$

Infine, il residuo vale $[37/6]$.

[Uomosenzasonno]

guarda, ti chiedo perdono se ti ho fatto perdere tempo... forse era il sonno visto che ho tirato dritto e non ho dormito la notte di capodanno però nel mio cervello $(-n)!$ non era definito, essendo $-n$ un numero negativo -.-

Dato che però la serie varia in $[-oo,0]$ che sono tutti num negativi...
Dai, il 9 gennaio ho l'esame e vediamo cosa comincia a portare questo 2012.

Grazie mille!!

[Sk_Anonymous]

In bocca al lupo!

[Uomosenzasonno]

eheh spero non fosse un "in bocca al lupo" tipo "mettiti nelle mani di dio perché stai messo malissimo"!