Sviluppo in serie di Laurent anomalo (per me)
salve a tutti, è il mio primo post e mi piacerebbe tanto presentarmi e fare tutto per bene, ma ho l'esame tra due giorni e davvero sono di fretta. prometto che mi farò perdonare in un momento di acque più chete. dunque, ho provato a cercare in tutto il web esercizi su Laurent ma nessuno che risolva il mio problema: il mio prof chiede di trovare uno sviluppo in serie di Laurent di una funzione centrata in $z_0$, ok, ma soprattutto convergente in un punto x (ad es $2i$)!!
io non capisco proprio come fare, davvero. vi scrivo il testo dell'esercizio, magari sapete aiutarmi voi:
Sia data la funzione
$f(z)=(z-1)/(z^2*(z+1))$
Giusti cando opportunamente tutte le risposte, determinare e classi ficare le singlarita isolate, deternimare i relativi residui e scrivere la serie di Laurent di centro $z_0 = 0$ e convergente in $2i$.
ora, io noto che ci sono un polo doppio in $z=0$, uno singolo in $z=-1$, trovo i residui, noto che la serie di Laurent dev'essere centrata in $z=0$ (che è il polo doppio) e che ha un raggio di convergenza pari a $0<|z|<1$ in quanto il dominio di convergenza della serie nella singolarità "sbatte" contro l'altra singolarità posta in $-1$ (o almeno spero che questa sia una giustificazione sufficiente, se ne avete una più matematica la accetto volentieri).
fatto ciò, esamino sto maledetto $2i$, e vedo che è situato al di fuori del dominio di cui sopra. quindi immagino io debba agire su di una corona circolare? ma come? devo fare l'analisi della serie in base ai domini (cioè nel caso $0<|z|<1$, poi nel caso $|z|>2i$)...vi prego illuminatemi, proprio non riesco a trovare niente al riguardo!! grazie in anticipo
io non capisco proprio come fare, davvero. vi scrivo il testo dell'esercizio, magari sapete aiutarmi voi:
Sia data la funzione
$f(z)=(z-1)/(z^2*(z+1))$
Giusti cando opportunamente tutte le risposte, determinare e classi ficare le singlarita isolate, deternimare i relativi residui e scrivere la serie di Laurent di centro $z_0 = 0$ e convergente in $2i$.
ora, io noto che ci sono un polo doppio in $z=0$, uno singolo in $z=-1$, trovo i residui, noto che la serie di Laurent dev'essere centrata in $z=0$ (che è il polo doppio) e che ha un raggio di convergenza pari a $0<|z|<1$ in quanto il dominio di convergenza della serie nella singolarità "sbatte" contro l'altra singolarità posta in $-1$ (o almeno spero che questa sia una giustificazione sufficiente, se ne avete una più matematica la accetto volentieri).
fatto ciò, esamino sto maledetto $2i$, e vedo che è situato al di fuori del dominio di cui sopra. quindi immagino io debba agire su di una corona circolare? ma come? devo fare l'analisi della serie in base ai domini (cioè nel caso $0<|z|<1$, poi nel caso $|z|>2i$)...vi prego illuminatemi, proprio non riesco a trovare niente al riguardo!! grazie in anticipo
Risposte
proprio nessuno sa illuminarmi a proposito di questa cosa?
[xdom="gugo82"]Chiudo per 24 ore per UP irregolare.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Chiudo per 24 ore per UP irregolare.[/xdom]
Chiedo scusa a fuserz per il ritardo nella riapertura del thread.
Per farmi perdonare ti mostro come risolvere.
Ok, hai ben spiegato perchè lo sviluppo in serie di Laurent centrato in [tex]$0$[/tex] che converge per [tex]$0<|z|<1$[/tex] non serve al tuo scopo.
Però puoi fare lo sviluppo che converge per [tex]$|z|>1$[/tex] (che poi sarebbe lo sviluppo di [tex]$f$[/tex] in serie intorno a [tex]$\infty$[/tex])!
Vediamo come si fa.
Innanzitutto scrivi la tua [tex]$f$[/tex] come somma di fratti semplici: lavorando un po' trovi:
[tex]$f(z)=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^2} -\frac{2}{z+1}$[/tex];
ora, noti che i termini [tex]$\frac{2}{z} ,\ -\frac{1}{z^2}$[/tex] non danno problemi per [tex]$|z|>1$[/tex], quindi se riesci a scrivere il termine restante [tex]$-\frac{2}{1+z}$[/tex] come somma di potenze di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex], in modo da avere convergenza per [tex]$|z|>1$[/tex], hai finito.
Visto che l'addendo [tex]$-\frac{2}{1+z}$[/tex] ricorda molto la somma di una serie geometrica, cerchiamo di ricondurci ad una cosa del genere in cui compaiano possibilmente solo potenze di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex]: si ha:
[tex]$\frac{1}{z+1} = \frac{1}{z\left( 1+\frac{1}{z}\right)} =\frac{1}{z} \ \frac{1}{1+\frac{1}{z}} =\frac{1}{z} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \Big(\frac{-1}{z}\Big)^n =\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{n+1}}$[/tex]
cosicché:
[tex]$-\frac{2}{z+1} =2\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{z^{n+1}} =2\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^n}$[/tex]
con l'espansione in serie che converge per [tex]$|z|>1$[/tex]. Infine:
[tex]$f(z)=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^2}+2\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^n} =\frac{1}{z^2}+2\sum_{n=3}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^n}$[/tex]
è lo sviluppo in serie cercato, giacché è centrato in [tex]$0$[/tex] e converge in [tex]$2i$[/tex].
Se non ti è chiaro qualche passaggio chiedi pure.
E scusa di nuovo per il ritardo.
Per farmi perdonare ti mostro come risolvere.
Ok, hai ben spiegato perchè lo sviluppo in serie di Laurent centrato in [tex]$0$[/tex] che converge per [tex]$0<|z|<1$[/tex] non serve al tuo scopo.
Però puoi fare lo sviluppo che converge per [tex]$|z|>1$[/tex] (che poi sarebbe lo sviluppo di [tex]$f$[/tex] in serie intorno a [tex]$\infty$[/tex])!
Vediamo come si fa.
Innanzitutto scrivi la tua [tex]$f$[/tex] come somma di fratti semplici: lavorando un po' trovi:
[tex]$f(z)=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^2} -\frac{2}{z+1}$[/tex];
ora, noti che i termini [tex]$\frac{2}{z} ,\ -\frac{1}{z^2}$[/tex] non danno problemi per [tex]$|z|>1$[/tex], quindi se riesci a scrivere il termine restante [tex]$-\frac{2}{1+z}$[/tex] come somma di potenze di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex], in modo da avere convergenza per [tex]$|z|>1$[/tex], hai finito.
Visto che l'addendo [tex]$-\frac{2}{1+z}$[/tex] ricorda molto la somma di una serie geometrica, cerchiamo di ricondurci ad una cosa del genere in cui compaiano possibilmente solo potenze di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex]: si ha:
[tex]$\frac{1}{z+1} = \frac{1}{z\left( 1+\frac{1}{z}\right)} =\frac{1}{z} \ \frac{1}{1+\frac{1}{z}} =\frac{1}{z} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \Big(\frac{-1}{z}\Big)^n =\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{n+1}}$[/tex]
cosicché:
[tex]$-\frac{2}{z+1} =2\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{z^{n+1}} =2\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^n}$[/tex]
con l'espansione in serie che converge per [tex]$|z|>1$[/tex]. Infine:
[tex]$f(z)=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^2}+2\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^n} =\frac{1}{z^2}+2\sum_{n=3}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^n}$[/tex]
è lo sviluppo in serie cercato, giacché è centrato in [tex]$0$[/tex] e converge in [tex]$2i$[/tex].
Se non ti è chiaro qualche passaggio chiedi pure.
E scusa di nuovo per il ritardo.
ciao, intanto ti ringrazio molto per l'esauriente spiegazione e mi scuso per la latitanza..adesso mi è tutto più chiaro tranne un paio di punti:
1) dire che la serie converge in 2i significa dire che converge nello spazio che contiene 2i, cioè nel nostro caso per |z|>1 (strettamente), no? ma dato che cmq il termine 1/z+1 si annulla esattamente in -1 (e quindi per |z|=1), la serie non converge già per |z|>1? cioè essendo la disuguaglianza in senso stretto, 1 non fa parte dell'insieme in considerazione, o no? oppure, una volta arrivati a un punto singolare a, tutte le z tali che |z-z0|>|a-z0| sono tali che la serie non converga?
2) perchè lo sviluppo in serie di $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}
ha anche quel termine (-1)^n e non è semplicemente le somme di z^n? ha a che fare con il fatto che non siamo più nel caso in cui |z|<1 e quindi non è più possibile usare lo sviluppo semplificato e va usato quello generale? ma ad ogni modo lo sviluppo generale non è quello..non capisco!
3) riprendendo il punto due..per fare lo sviluppo di $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}
non bisognerebbe fare il trucchetto w=z^-1?
4) in base a cosa, ad un certo punto, dici che l'espansione in serie converge per |z|>1?
grazie in anticipo, e scusate magari le domande idiote
1) dire che la serie converge in 2i significa dire che converge nello spazio che contiene 2i, cioè nel nostro caso per |z|>1 (strettamente), no? ma dato che cmq il termine 1/z+1 si annulla esattamente in -1 (e quindi per |z|=1), la serie non converge già per |z|>1? cioè essendo la disuguaglianza in senso stretto, 1 non fa parte dell'insieme in considerazione, o no? oppure, una volta arrivati a un punto singolare a, tutte le z tali che |z-z0|>|a-z0| sono tali che la serie non converga?
2) perchè lo sviluppo in serie di $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}
ha anche quel termine (-1)^n e non è semplicemente le somme di z^n? ha a che fare con il fatto che non siamo più nel caso in cui |z|<1 e quindi non è più possibile usare lo sviluppo semplificato e va usato quello generale? ma ad ogni modo lo sviluppo generale non è quello..non capisco!
3) riprendendo il punto due..per fare lo sviluppo di $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}
non bisognerebbe fare il trucchetto w=z^-1?
4) in base a cosa, ad un certo punto, dici che l'espansione in serie converge per |z|>1?
grazie in anticipo, e scusate magari le domande idiote
ok credo di aver capito più o meno da solo quello che ho chiesto nel post precedente, però mi è sorto un altro dubbio. in un altro esercizio ho la seguente situazione:
$f(z)=z^5/((z-2)^2*(z+6))$
e mi si chiede di trovare lo sviluppo centrato in $z0=2$ e convergente in $z=0$. il discorso è più o meno quello fatto finora, ma stavolta in $z=0$ c'è uno zero di molteplicità 5 a causa del numeratore! cosa succede in questo caso?
$f(z)=z^5/((z-2)^2*(z+6))$
e mi si chiede di trovare lo sviluppo centrato in $z0=2$ e convergente in $z=0$. il discorso è più o meno quello fatto finora, ma stavolta in $z=0$ c'è uno zero di molteplicità 5 a causa del numeratore! cosa succede in questo caso?
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