Sviluppo in serie di Laurent
Buonasera al forum,
chiedo un aiuto per questo esercizio
Data la seguente funzione
$f(z)=1/(z^2-3z+2)$
Determinare lo sviluppo in serie di Laurent intorno al punto 1 e 2.
Prima cosa determino gli zeri,
$z^2-3z+2=0 => z=2;z=1$
A questo punto dalle ben note regole riscrivo la funzione
$f(z)= 1/(z-2)-1/(z-1)$
Da qui in poi vado nel panico, poichè il mio libro comincia a volare con le sue formule alle quali non riesco ad arrivare in nessun modo.
Io cerco di riscrivere i 2 fratti semplici come una serie geometrica $1/(1-x)$
$1/(z-2)=1/(1-(3-z))$
$1/(z-1)=1/(1-(2-z))$
Qui sono bloccato:
1) Come faccio a verificare se le ragioni della serie trovata è effettivamente compreso tra -1 e 1?
2) Dopo la loro scomposizione, come devo procedere?
Grazie!!
chiedo un aiuto per questo esercizio
Data la seguente funzione
$f(z)=1/(z^2-3z+2)$
Determinare lo sviluppo in serie di Laurent intorno al punto 1 e 2.
Prima cosa determino gli zeri,
$z^2-3z+2=0 => z=2;z=1$
A questo punto dalle ben note regole riscrivo la funzione
$f(z)= 1/(z-2)-1/(z-1)$
Da qui in poi vado nel panico, poichè il mio libro comincia a volare con le sue formule alle quali non riesco ad arrivare in nessun modo.
Io cerco di riscrivere i 2 fratti semplici come una serie geometrica $1/(1-x)$
$1/(z-2)=1/(1-(3-z))$
$1/(z-1)=1/(1-(2-z))$
Qui sono bloccato:
1) Come faccio a verificare se le ragioni della serie trovata è effettivamente compreso tra -1 e 1?
2) Dopo la loro scomposizione, come devo procedere?
Grazie!!
Risposte
$[|z-1|<1] rarr [1/(z^2-3z+2)=-1/(z-1)+1/(z-2)=-1/(z-1)-1/(1-(z-1))=-1/(z-1)-\sum_{n=0}^\infty(z-1)^n]$
$[|z-2|<1] rarr [1/(z^2-3z+2)=1/(z-2)-1/(z-1)=1/(z-2)-1/(1-(-z+2))=1/(z-2)-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(z-2)^n]$
$[|z-2|<1] rarr [1/(z^2-3z+2)=1/(z-2)-1/(z-1)=1/(z-2)-1/(1-(-z+2))=1/(z-2)-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(z-2)^n]$
Ciao,
innanzitutto grazie della risposta, volevo chiederti qualche delucidazione in merito.
Alla fine, se ho capito bene, non hai fatto altro che, dopo la scomposizione in fratti semplici, prendere un membro e svilupparlo come serie geometrica lasciando l'altro intatto (che quindi diviene il residuo in tal punto), giusto?
Questo è possibile perchè, ad esempio, nel punto 1 $1/(z-1)$ non è olomorfa, ma lo è invece $1/(z-2)$ permettendoti di sviluppare come serie geometrica la seconda.
Giusto?
Domanda che mi sorge spontanea:
se il testo dell'esercizio fosse stato
Sviluppare in serie di Laurent nel punto 1 la funzione $1/(z-1)$, la soluzione in tal caso sarebbe stata il solo termine $c_-1?$
innanzitutto grazie della risposta, volevo chiederti qualche delucidazione in merito.
Alla fine, se ho capito bene, non hai fatto altro che, dopo la scomposizione in fratti semplici, prendere un membro e svilupparlo come serie geometrica lasciando l'altro intatto (che quindi diviene il residuo in tal punto), giusto?
Questo è possibile perchè, ad esempio, nel punto 1 $1/(z-1)$ non è olomorfa, ma lo è invece $1/(z-2)$ permettendoti di sviluppare come serie geometrica la seconda.
Giusto?
Domanda che mi sorge spontanea:
se il testo dell'esercizio fosse stato
Sviluppare in serie di Laurent nel punto 1 la funzione $1/(z-1)$, la soluzione in tal caso sarebbe stata il solo termine $c_-1?$
"Vincent":
Alla fine, se ho capito bene, non hai fatto altro che, dopo la scomposizione in fratti semplici, prendere un membro e svilupparlo come serie geometrica lasciando l'altro intatto (che quindi diviene il residuo in tal punto), giusto?
Questo è possibile perchè, ad esempio, nel punto 1 $1/(z-1)$ non è olomorfa, ma lo è invece $1/(z-2)$ permettendoti di sviluppare come serie geometrica la seconda. Giusto?
Ok. Ti faccio notare che le condizioni di esistenza dello sviluppo sono legate alla presenza dei punti singolari. Per esempio, avendo $[1/(z-2)]$ un polo per $[z=2]$, la condizione $[|z-1|<1]$ è piuttosto naturale.
"Vincent":
Domanda che mi sorge spontanea: se il testo dell'esercizio fosse stato Sviluppare in serie di Laurent nel punto 1 la funzione $1/(z-1)$, la soluzione in tal caso sarebbe stata il solo termine $c_-1?$
Ok.
Grande! Allora sto iniziando a capirci qualcosa!
Ultimissima domanda poi finisco di rompere le palle:
$e^(z^2)/(z^3)$
In 0 vi è un palese polo, mi accingo quindi a classificarne l'ordine usando la formula del limite.
$lim_(z->0) e^(z^2)/(z^3)*z^n$
Tal limite vale 1 se n = 3; quindi z=0 è un polo di terzo ordine.
Se ho studiato bene la teoria, la mia buona serie di Laurent dovrà avere quindi 3 coefficienti $c_n; n<0$, ma ho difficoltà a trovarli
Ho separato la funzione $1/(z^3)* e^(z^2)$ e, sviluppata la seconda come normale serie di taylor, non riesco a capire come far uscire fuori i 3 termini negativi della serie.
Grazie ancora!
Ultimissima domanda poi finisco di rompere le palle:
$e^(z^2)/(z^3)$
In 0 vi è un palese polo, mi accingo quindi a classificarne l'ordine usando la formula del limite.
$lim_(z->0) e^(z^2)/(z^3)*z^n$
Tal limite vale 1 se n = 3; quindi z=0 è un polo di terzo ordine.
Se ho studiato bene la teoria, la mia buona serie di Laurent dovrà avere quindi 3 coefficienti $c_n; n<0$, ma ho difficoltà a trovarli
Ho separato la funzione $1/(z^3)* e^(z^2)$ e, sviluppata la seconda come normale serie di taylor, non riesco a capire come far uscire fuori i 3 termini negativi della serie.
Grazie ancora!
$e^(z^2)/(z^3)=1/z^3*e^(z^2)=1/z^3*(1+z^2+z^4/2+...)=1/z^3+1/z+1/2z+...$
Ok, è lo stesso risultato a cui ero arrivato io,
ma non mi sembra un risultato di polo di terzo ordine (mi aspetto 3 elementi con $c_n$ negativo della serie di laurent)
E' un polo di ordine 3 o non ci ho capito una mazza?
ma non mi sembra un risultato di polo di terzo ordine (mi aspetto 3 elementi con $c_n$ negativo della serie di laurent)
E' un polo di ordine 3 o non ci ho capito una mazza?
"Vincent":
...mi aspetto 3 elementi con $c_n$ negativo della serie di laurent.
Deve essere presente il termine corrispondente a $[1/z^3]$. Quelli corrispondenti ai termini $[1/z^2]$ e $[1/z]$ possono essere nulli. Per esempio, la funzione $[f(z)=1/z^3]$, coincidente con il suo sviluppo nell'origine, evidentemente non li ha.
Ok, mi sta bene che alcuni coefficienti negativi possano essere nulli.
Ma a questo punto mi viene ancora un'altra domanda:
Il residuo di questa funzione quale è?
Voglio dire, la parte singolare di
$((e^z)^2)/(z^3)$ è proprio $1/(z^3)$, ma chi mi dice che questo termine è proprio il coefficiente $c_-1$?
Altra domanda ancora:
$1/(z^3)$ e $((e^z)^2)/(z^3)$ hanno quindi lo stesso residuo (avendo uguale parte singolare?)
Ma a questo punto mi viene ancora un'altra domanda:
Il residuo di questa funzione quale è?
Voglio dire, la parte singolare di
$((e^z)^2)/(z^3)$ è proprio $1/(z^3)$, ma chi mi dice che questo termine è proprio il coefficiente $c_-1$?
Altra domanda ancora:
$1/(z^3)$ e $((e^z)^2)/(z^3)$ hanno quindi lo stesso residuo (avendo uguale parte singolare?)
$e^(z^2) ne (e^z)^2 $.
Premesso questo per la funzione $e^(z^2)/z^3 $ si ha : $c_(-3)=1; c_(-2)=0 ; c_(-1)= 1 $ il residuo è quindi $c_(-1)=1 $.
La funzione $1/z^3 $ che presenta un polo di terzo ordine in $z=0 $ ha residuo pari a $0$ in quanto $c_(-1)=0 $.
Premesso questo per la funzione $e^(z^2)/z^3 $ si ha : $c_(-3)=1; c_(-2)=0 ; c_(-1)= 1 $ il residuo è quindi $c_(-1)=1 $.
La funzione $1/z^3 $ che presenta un polo di terzo ordine in $z=0 $ ha residuo pari a $0$ in quanto $c_(-1)=0 $.
Scusate per l'errore, ho sbagliato a mettere le parentesi.
Ad ogni modo la cosa non mi è chiara: le 2 funzioni non hanno uguale parte singolare?
Come posso calcolare i singoli coefficienti delle 2 funzioni in oggetto?
Frattanto ne ho fatta un'altra
$(senz)/(1-cosz)$
che posso agilmente dividere in $1/(1-cosz)*senz$ da cui mi viene una serie geometrica per lo sviluppo in serie di Taylor del seno: $sum(-1^n/(2n+1)! * (cosz)^n/(z^(2n+1)))$
Ad ogni modo la cosa non mi è chiara: le 2 funzioni non hanno uguale parte singolare?
Come posso calcolare i singoli coefficienti delle 2 funzioni in oggetto?
Frattanto ne ho fatta un'altra
$(senz)/(1-cosz)$
che posso agilmente dividere in $1/(1-cosz)*senz$ da cui mi viene una serie geometrica per lo sviluppo in serie di Taylor del seno: $sum(-1^n/(2n+1)! * (cosz)^n/(z^(2n+1)))$
No, non hanno la stessa parte singolare in quanto :
$e^(z^2)/(z^3)=1/(z^3)+1/z+z/2+... $ e la parte singolare è $ 1/(z^3)+1/z $ cioè la parte dello sviluppo con $c_(-n)z^(-n) $
mentre $1/(z^3) $ ha parte singolare $1/(z^3) $ e sono diverse.
Se $f(z)=sum_(n=0)^(+oo)c_n(z-z_0)^n +sum_(n=1)^(+oo)c_(-n) (z-z_0)^(-n)$ allora la prima serie si chiama parte regolare e la seconda parte singolare dello sviluppo.
Naturalemnte si può anche riscrivere in modo più compatto $f(z)=sum_(n=-oo)^(+oo) c_n(z-z_0)^n $.
$e^(z^2)/(z^3)=1/(z^3)+1/z+z/2+... $ e la parte singolare è $ 1/(z^3)+1/z $ cioè la parte dello sviluppo con $c_(-n)z^(-n) $
mentre $1/(z^3) $ ha parte singolare $1/(z^3) $ e sono diverse.
Se $f(z)=sum_(n=0)^(+oo)c_n(z-z_0)^n +sum_(n=1)^(+oo)c_(-n) (z-z_0)^(-n)$ allora la prima serie si chiama parte regolare e la seconda parte singolare dello sviluppo.
Naturalemnte si può anche riscrivere in modo più compatto $f(z)=sum_(n=-oo)^(+oo) c_n(z-z_0)^n $.
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