Sviluppo in serie di Laurent

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti

in questo esercizio di esempio:
$ f(z)=1/((z-1)(z-2)) $

mi chiede trova lo sviluppo in serie di Laurent centrate in $ z0=0 $ valido nelle regioni
[tex]$ A={z:|z|<1} $[/tex]
[tex]$ B={z:1<|z|<2} $[/tex]
[tex]$ C={z:|z|>2} $[/tex]

Come prima cosa osserva che
$ f(z)=(1/(z-2))-(1/(z-1)) $

Ho verificato che è vero ma come ha fatto?


Poi procede considerando $ z in A $ e usa lo sviluppo della serie geometrica
$ f(z)=(-1/2*1/(1-z/2))+1/(1-z) $ e trova i coefficienti $ cn=1-1/(2^(n+1)) $ per $ n>=0 $

e fino qui tutto ok!

quando procede considerando $ z in B $ raccoglie in questo modo
$ (-1/2*1/(1-z/2))-(1/z)*(1/1-(1/z)) $

Perché ha raccolto così?

[andra_zx]

per la prima domanda ti posso rispondere "con il metodo dei fratti semplici". Cioè il solito metodo con cui scomponi una frazioni in: $A/(z - 1) + B/(z - 2)$ e poi la eguagli alla tua funzione di partenza per trovarti i coefficienti $A$ e $B$.

per la seconda domanda non saprei.. penso sia perche $z$ non è più minore di 1, quindi la serie geometrica $\sum_{n} z^n$ non è più convergente. Di conseguenza ha cercato una scomposizione per ricondursi a qualche caso noto. Ma ripeto che è solo una supposizione..