Sviluppo in serie di Laurent
Salve a tutti. Sono uno studente di ingegneria informatica di Catania e mi accingo ad affrontare l'esame di Analisi Matematica III.
Per una serie di ragioni personali non mi è stato possibile seguire bene le lezioni, e adesso mi trovo in enormi difficoltà. Mi rivolgo a voi sperando in un aiuto concreto.
Avrei numerosi dubbi su svariati argomenti, ma comincerò postando qualcosa sul primo argomento: la serie di Laurent. Sebbene mi sia documentato sia su Wikipedia sia qui sia sul mio libro di testo (scritto con i piedi), non mi ritengo in grado di affrontare la stragrande maggioranza degli esercizi.
Ho la seguente funzione: $f(z)=(z^2+1)/(z*sinz)$. Il testo chiede di determinare lo sviluppo in serie di Laurent nell'insieme $0<|z|<1$.
Sono certo che ragionerò avanzando congetture che per voi equivarranno a bestemmie, ma vi chiedo gentilmente di avere pazienza: ve ne sarò sinceramente grato.
Innanzitutto questa funzione dovrebbe avere (userò sempre il condizionale!) singolarità per $z=0$, poiché non è ivi olomorfa. Adesso si dovrebbe per caso procedere determinando lo sviluppo in serie di Taylor? In tal caso, non saprei proprio come fare, dato che solo la derivata prima mi risulta una cosa mostruosa: $((z^2-1)*sinz-z*(z^2+1)*cosz)/(z^2*sin^2z)$.
Inoltre, malgrado abbia letto diversi post del forum che approfondiscono l'argomento, non ho ancora bene afferrato la differenza tra serie di Taylor e serie di Laurent: so solo che quest'ultima è bilatera, e quindi che si tratta di una somma da $-infty$ a $+infty$.
Ringraziamenti sinceri a chiunque avrà il desiderio e la pazienza di aiutarmi.
Per una serie di ragioni personali non mi è stato possibile seguire bene le lezioni, e adesso mi trovo in enormi difficoltà. Mi rivolgo a voi sperando in un aiuto concreto.
Avrei numerosi dubbi su svariati argomenti, ma comincerò postando qualcosa sul primo argomento: la serie di Laurent. Sebbene mi sia documentato sia su Wikipedia sia qui sia sul mio libro di testo (scritto con i piedi), non mi ritengo in grado di affrontare la stragrande maggioranza degli esercizi.
Ho la seguente funzione: $f(z)=(z^2+1)/(z*sinz)$. Il testo chiede di determinare lo sviluppo in serie di Laurent nell'insieme $0<|z|<1$.
Sono certo che ragionerò avanzando congetture che per voi equivarranno a bestemmie, ma vi chiedo gentilmente di avere pazienza: ve ne sarò sinceramente grato.
Innanzitutto questa funzione dovrebbe avere (userò sempre il condizionale!) singolarità per $z=0$, poiché non è ivi olomorfa. Adesso si dovrebbe per caso procedere determinando lo sviluppo in serie di Taylor? In tal caso, non saprei proprio come fare, dato che solo la derivata prima mi risulta una cosa mostruosa: $((z^2-1)*sinz-z*(z^2+1)*cosz)/(z^2*sin^2z)$.
Inoltre, malgrado abbia letto diversi post del forum che approfondiscono l'argomento, non ho ancora bene afferrato la differenza tra serie di Taylor e serie di Laurent: so solo che quest'ultima è bilatera, e quindi che si tratta di una somma da $-infty$ a $+infty$.
Ringraziamenti sinceri a chiunque avrà il desiderio e la pazienza di aiutarmi.
Risposte
Io controllereri subito di che tipo è la singolarità $z=0$, questo ti dà a priori informazioni sullo sviluppo in serie di Laurent.
Inoltre noto che determinare esplicitamente tutta la serie di Laurent di quella funzione è in effetti macchinoso (perchè è macchinoso determinare la serie di Laurent di [tex]$\tfrac{1}{\sin z}$[/tex]).
Non riesco a capire perchè certi docenti assegnino esercizi così "inutili" allo scritto... Insomma, la voglia di verificare è una cosa, il sadismo un'altra.
Non riesco a capire perchè certi docenti assegnino esercizi così "inutili" allo scritto... Insomma, la voglia di verificare è una cosa, il sadismo un'altra.
Innanzitutto grazie per la celere risposta. Non vorrei sbagliarmi, ma credo di poter escludere che si tratti di una singolarità isolata, poiché $f'(0)$ non è definita. In sostanza, una singolarità dovrebbe essere isolata quando la funzione è olomorfa in tutti i punti tranne quello in considerazione. Dico bene? Premesso ciò, mi verrebbe da aggiungere che si tratti di un polo (ragiono "ad alta voce"), e nella fattispecie un polo doppio, dato che $0$ è uno zero doppio del denominatore.
In ogni modo, non credo di sapermi orientare nello sviluppo della serie di Laurent a partire dalla determinazione delle singolarità.
Vi prego di non maledirmi!
Comunque, mi trovo d'accordo con gugo82, ahimè!
In ogni modo, non credo di sapermi orientare nello sviluppo della serie di Laurent a partire dalla determinazione delle singolarità.
Vi prego di non maledirmi!
Comunque, mi trovo d'accordo con gugo82, ahimè!
Innanzitutto, se credi che la singolarità sia non isolata, come fai a classificarla?
Infatti, la divisione delle singolarità in poli o essenziali funziona solo per le singolarità isolate (ricorda che una singolarità si dice isolata se, in almeno un suo intorno, non cadono altri punti singolari).
Le singolarità di un rapporto tra funzioni olomorfe si trovano in corrispondenza o delle singolarità del numeratore e denominatore, oppure in corrispondenza di zeri del denominatore solo parzialmente compensati (nell'ordine) da zeri del numeratore.
Il numeratore ed il denominatore della tua funzione non hanno singolarità al finito, ergo le singolarità della tua funzione provengono solo da zeri del denominatore parzialmente compensati da zeri del numeratore.
Gli zeri del denominatore sono del tipo [tex]$z_k=k\pi$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]); essi sono zeri semplici ossia d'ordine [tex]$1$[/tex] se [tex]$k\neq 0$[/tex], e lo zero [tex]$z_0=0$[/tex] è doppio ossia d'ordine [tex]$2$[/tex] (per via del contemporaneo annullarsi dei fattori [tex]$z$[/tex] e [tex]$\sin z$[/tex], ognuno d'ordine [tex]$1$[/tex]).
Il numeratore non si annulla in alcun [tex]$z_k$[/tex].
Ne viene che tutti i punti del tipo [tex]$z_k$[/tex] sono poli per la tua funzione, d'ordine [tex]$1$[/tex] se [tex]$k\neq 1$[/tex], d'ordine [tex]$2$[/tex] se [tex]$k=0$[/tex].
Inoltre, nota che intorno al punto [tex]$z_0=0$[/tex] non si accumulano altre singolarità (infatti ogni [tex]$z_k$[/tex] dista da [tex]$z_0$[/tex] di almeno [tex]$\pi$[/tex], giacché [tex]$|z_k-z_0|=|k|\pi>\pi$[/tex] per [tex]$k\neq 0$[/tex]), quindi la singolarità in [tex]$0$[/tex] è certamente isolata e classificabile (come pure le altre... E non poteva essere altrimenti).
Infatti, la divisione delle singolarità in poli o essenziali funziona solo per le singolarità isolate (ricorda che una singolarità si dice isolata se, in almeno un suo intorno, non cadono altri punti singolari).
Le singolarità di un rapporto tra funzioni olomorfe si trovano in corrispondenza o delle singolarità del numeratore e denominatore, oppure in corrispondenza di zeri del denominatore solo parzialmente compensati (nell'ordine) da zeri del numeratore.
Il numeratore ed il denominatore della tua funzione non hanno singolarità al finito, ergo le singolarità della tua funzione provengono solo da zeri del denominatore parzialmente compensati da zeri del numeratore.
Gli zeri del denominatore sono del tipo [tex]$z_k=k\pi$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]); essi sono zeri semplici ossia d'ordine [tex]$1$[/tex] se [tex]$k\neq 0$[/tex], e lo zero [tex]$z_0=0$[/tex] è doppio ossia d'ordine [tex]$2$[/tex] (per via del contemporaneo annullarsi dei fattori [tex]$z$[/tex] e [tex]$\sin z$[/tex], ognuno d'ordine [tex]$1$[/tex]).
Il numeratore non si annulla in alcun [tex]$z_k$[/tex].
Ne viene che tutti i punti del tipo [tex]$z_k$[/tex] sono poli per la tua funzione, d'ordine [tex]$1$[/tex] se [tex]$k\neq 1$[/tex], d'ordine [tex]$2$[/tex] se [tex]$k=0$[/tex].
Inoltre, nota che intorno al punto [tex]$z_0=0$[/tex] non si accumulano altre singolarità (infatti ogni [tex]$z_k$[/tex] dista da [tex]$z_0$[/tex] di almeno [tex]$\pi$[/tex], giacché [tex]$|z_k-z_0|=|k|\pi>\pi$[/tex] per [tex]$k\neq 0$[/tex]), quindi la singolarità in [tex]$0$[/tex] è certamente isolata e classificabile (come pure le altre... E non poteva essere altrimenti).
Anzitutto dovresti sapere dalla teoria che se una funzione ha un polo allora la parte negativa della serie di Laurent attorno ad esso è finita (cioè la parte in serie di potenze di $1/z$) e precisamente termina all'ordine del polo. Nel tuo caso sei attorno ad un polo di ordine 2, per cui hai solo due termini negativi, uno è il residuo e l'altro lo calcoli. Poi per la parte positiva non vedo altra via che sviluppare in serie $1/sin z$ purtroppo...
Per le esercitazioni che ogni tanto tengo stavo preparando un po' di esercizi svolti sullo studio della funzione complessa.
Il pdf è reperibile qui.
Ovviamente, essendo una bozza, non sarà esente da errori: quindi invito il lettore a prendere ciò che c'è scritto cum grano salis ed a segnalare gli eventuali errori/orrori.
Il pdf è reperibile qui.
Ovviamente, essendo una bozza, non sarà esente da errori: quindi invito il lettore a prendere ciò che c'è scritto cum grano salis ed a segnalare gli eventuali errori/orrori.
Grazie ad entrambi, ma temo di riscontrare ancora difficoltà nel correlare dal punto di vista applicativo residui a serie di Laurent. Cioè, so bene che il residuo della funzione $f$ nel punto singolare $z_0$ sia rappresentato dal coefficiente $a_-1$ della serie bilatera di Laurent, ma non credo che ciò mi aiuti. Lo so, lo so: purtroppo con me ci vuole molta pazienza (e masochismo)! 
"Luca.Lussardi":Intendi dire che per sviluppare la funzione in serie di Laurent io debba calcolare i residui nei punti singolari, ovvero in zero? Fatto ciò, avrei risposto alla domanda dell'esercizio? Cioè, non sarebbe necessario applicare Taylor?
Nel tuo caso sei attorno ad un polo di ordine 2, per cui hai solo due termini negativi, uno è il residuo e l'altro lo calcoli.
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