Sviluppo in Serie di Laurent
Vorrei proporre il seguente esercizio: sviluppare in serie di Laurent la funzione
$f(z) = 1 / ( z^2 -2z +2 )$
nella circonferenza di centro $z1 = 1 - i$ e raggio $r = sqrt(2)$ ovvero $C2 = {z in C: 0 < |z - 1 + i| < sqrt(2)}$
I due poli della funzione sono z1 e z2 suo complesso coniugato.
$f (z) = (1/2) i ( 1/(z-z1) - 1/(z-z2) )$
la prima parte è già pronta mentre la seconda è da sviluppare.
$1 / (z - 1 - i) = -1 / ((1+i) - z) = -1 / (2i - (z - 1 +i) ) = -1 / [2i ( 1 - (z -1 + i)/2i )]$
nel quale però ho $|(z - z1) /2i| < 1$ ovvero $|z-z1| < 2.$
Invece dovrei ottenere $|z-z1| < sqrt(2)$
Dove sbaglio?
$f(z) = 1 / ( z^2 -2z +2 )$
nella circonferenza di centro $z1 = 1 - i$ e raggio $r = sqrt(2)$ ovvero $C2 = {z in C: 0 < |z - 1 + i| < sqrt(2)}$
I due poli della funzione sono z1 e z2 suo complesso coniugato.
$f (z) = (1/2) i ( 1/(z-z1) - 1/(z-z2) )$
la prima parte è già pronta mentre la seconda è da sviluppare.
$1 / (z - 1 - i) = -1 / ((1+i) - z) = -1 / (2i - (z - 1 +i) ) = -1 / [2i ( 1 - (z -1 + i)/2i )]$
nel quale però ho $|(z - z1) /2i| < 1$ ovvero $|z-z1| < 2.$
Invece dovrei ottenere $|z-z1| < sqrt(2)$
Dove sbaglio?
Risposte
Nessun errore, semplicemente la soluzione è valida per una corona più grande.
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