Sviluppo in serie di LAURENT

[albertmetod]

Ho l'esercizio seguente:


Rappresentare mediante una serie di Laurent la funzione

$ f(z) =1/(z^2-5z+6)


nella regione $|z|
determinare raggio di convergenza R

non ho chiaro lo svolgimento e in particolare cosa mi stia a indicare il fatto della regione..ringrazio per l'aiuto

[ReSiaK]

questa funzione ha due punti di singolarità, infatti puoi scriverla come $ 1/((z-3)(z-2)) $ e devi fare lo sviluppo rispetto questi due punti
la regione ti sta ad indicare che le due singolarità sono isolate infatti devi prendere un intorno del punto di raggio minore della distanza che li separa.

ora purtroppo non ho il tempo di farti vedere tutti i singoli passaggi ma qualcun altro del forum saprà sicuramente aiutarti

[elgiovo]

Se $0 $1/(z^2-5z+6)=1/(z-3)-1/(z-2)=1/2 sum_(k=0)^(oo) (z/2)^k- 1/3 sum_(k=0)^(oo)(z/3)^k$.
Se $2 Se $R>3$ lo sviluppo di Laurent si ottiene come nel caso precedente: $1/z sum_(k=0)^(oo) (3/z)^k +1/2 sum_(k=0)^(oo) (z/2)^k$.
Credo che per raggio di convergenza si intenda il raggio entro cui è possibile scrivere la funzione come serie di Taylor, quindi $R=2$.

[albertmetod]

ok al primo punto ci siamo.

il resto però...come hai ottenuto quegli sviluppi?

il raggio di convergenza è quel numero R per cui con |z-a|

Cita

Segnala

[elgiovo]

Se $R<2$ allora la serie converge, altrimenti diverge (si è in presenza di poli).
Le serie di Laurent le ho ottenute dividendo e moltiplicando numeratore e denominatore per $2/z$ e $3/z$,
rispettivamente, ottenendo così la somma di certe serie geometriche. I conti li ho scritti sopra.

[albertmetod]

"elgiovo":Se $R<2$ allora la serie converge, altrimenti diverge (si è in presenza di poli).
Le serie di Laurent le ho ottenute dividendo e moltiplicando numeratore e denominatore per $2/z$ e $3/z$,
rispettivamente, ottenendo così la somma di certe serie geometriche. I conti li ho scritti sopra.

giusto, ora ci sono, grazie