Sviluppo in serie di Fourier: condizioni di Dirichlet

[alfredo14]

Salve, ho un dubbio da sciogliere.

Su un testo di trattamento dei segnali, e sulla parte dello sviluppo in serie di Fourier, vengono ricordate le tre condizioni di Dirichlet che ne consentono, appunto, la sviluppabilità.

Tra queste si afferma che la f(t), periodica di periodo T, deve essere:

$int_0^Tf(t)dt
Ma non dovrebbe invece essere:

$int_0^T|f(t)|dt
tale da garantire l'assoluta integrabilità nel periodo della f(t)?

Grazie.

[gugo82]

"alfredo":Salve, ho un dubbio da sciogliere.

Su un testo di trattamento dei segnali, e sulla parte dello sviluppo in serie di Fourier, vengono ricordate le tre condizioni di Dirichlet che ne consentono, appunto, la sviluppabilità.

Tra queste si afferma che la f(t), periodica di periodo T, deve essere:

$int_0^Tf(t)dt
Ma non dovrebbe invece essere:

$int_0^T|f(t)|dt
tale da garantire l'assoluta integrabilità nel periodo della f(t)?

Grazie.

A quanto ne sò, nelle condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale della serie du Fourier relativa ad una funzione $f$ di periodo $T$ non è richiesta la sommabilità, né è presente tra le condizioni quella che riporti tu, ossia $\int_0^T f(x)" d"x
Consultando il mio libro di Analisi Complessa trovo il seguente teorma (cito con alcune lievissime modifiche):

"Il prof. Greco, nel suo libro Complementi di Analisi, ":1z7x6myr:
Se $f(x)$ è una funzione periodica di periodo $2pi$, 1) generalmente continua e generalmente derivabile, 2) con derivata prima generalmente continua e 3) dotata di sole discontinuità di prima specie*, allora la serie di Fourier relativa ad $f(x)$ converge per tutti i valori di $x$ e la sua somma è $f(x)$ se $x$ è un punto di continuità (per $f$), $1/2 [f(x^(-))+f(x^+)]$ altrimenti.
Inoltre in ogni intervallo che non contenga punti di discontinuità di $f$ la convergenza della serie di Fourier è uniforme.
[...]
Le condizioni 1, 2, 3) sono dette condizioni di Dirichlet.
[...]
Il teorema può essere provato valido per funzioni periodiche di periodo $2pi$ a variazione limitata.

Ovviamente il teorema vale anche per funzioni periodiche con periodi $T!=2pi$.

Non essendo molto esperto di Analisi Armonica, lascio comunque la palla ad altri che ne sanno più di me.

_____________
* Visto che il numero interrompe il periodo, a scanso di equivoci chiarisco che è la "derivata prima" di $f$ a dover presentare "sole discontinuità di prima specie".

[alfredo14]

Intanto ti ringrazio per la tua, come sempre disponibilità.

[Ska1]

Riesumo questo topic, dato che ho trovato la citazione qui...

In rete non ho trovato nulla di rilevante/chiaro a riguardo.... vorrei capire come si dimostra il fatto che se $f$ $2\pi-periodica$ presenta una discontinuità di salto, allora la sua serie di fourier converge nel punto di discontinuità al valore medio del salto ($(f^+(x) + f^(-)(x))/2$), o più in generale la sua trasformata di Fourier, dato che anche per questa vi è il medesimo comportamento...

[Ska1]

Provo a mettere giù l'idea che mi era venuta in mente...

Considero direttamente il caso della trasformata di Fouier...

Considero [tex]\hat f (\xi)[/tex] trasformata di [tex]f[/tex], e suppongo che [tex]f[/tex] in [tex]\overline x[/tex] presenti una discontinuità di salto cioè [tex]f(x) = \begin{cases}f^l(x) & x <= \overline x \\ f^r(x) & x > \overline x\end{cases}[/tex] con [tex]\lim_{x\rightarrow \overline x^+} f(x) \ne \lim_{x\rightarrow \overline x^-} f(x)[/tex] ma entrambi finiti.
Allora

[tex]\check{\hat f}(\overline x) = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_\mathbb{R} \hat f(\xi) e^{\imath \xi \overline x} d\xi = \lim_{N\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-N}^N \hat f(\xi) e^{\imath \xi \overline x} d\xi = \lim_{N\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_\mathbb{R} f(y)\int_{-N}^N e^{-\imath \xi (y-\overline x)} d\xi dy[/tex]

indicando con [tex]sinc(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}[/tex] allora [tex]\displaystyle\int_{-N}^N e^{-\imath \xi (y-\overline x)} d\xi = 2N sinc(N(\overline x - y))[/tex]

quindi si ha
[tex]\check{\hat f}(\overline x) = \lim_{N\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_\mathbb{R} f(y) N sinc(N(\overline x - y)) dy =\\ \lim_{N\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\pi}\Biggl[\displaystyle\int_{-\infty}^{\overline x} f^l(y)N sinc(N(\overline x - y)) dy + \int_{\overline x}^{+\infty} f^r(y)N sinc(N(\overline x - y)) dy\Biggr] = \lim_{N\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\pi}\Biggl[\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f^l(\overline x - \frac{z}{N}) sinc(z) dz + \int_{-\infty}^0 f^r(\overline x - \frac{z}{N}) sinc(z) dz \Biggr][/tex]

Applicando quindi la convergenza dominata (con qualche passaggio perchè il sinc non è sommabile) quindi si ha ottiene dunque il risultato

[tex]\check{\hat f}(\overline x) = \dfrac{f^l(\overline x) + f^r(\overline x)}{2}[/tex]

Quasi sicuramente c'è qualcosa che non va dal punto di vista formale o anche peggio... attendo pareri o magari una dimostrazione corretta.

Grazie

[Ska1]

nessun parere?