Sviluppo in serie di fourier
slave a tutti! è da diverso tempo che vi seguo, e mi siete stati spesso molto utili, trovando la risposta a ciò che cercavo praticamente sempre. ora però ho incontrato un problema, sul calcolo dei coefficienti della serie di fourier, al quale non riesco a trovare una soluzione:
sia data la funzione, \( 2\pi \) periodica, definita in \( \left [ 0, \pi \right ] \) , pari:
\[f(x) = \begin{cases}1 & 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \\
-1 & \frac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases} \]
essendo pari, i coefficienti \( b_k \) sono tutti nulli, \(a_0\) mi risulta 0, e nel calcolo di \( a_k\) mi trovo un problema:
\[a_k = \begin{cases} 0 & \text{, se } k \text{ pari} \\ \frac{4}{k\pi} &\text{, se }k \text{ dispari, a intervalli di 4 partendo da 1 (1,5,9,...)} \\ \frac{-4}{k\pi} &\text{, se } k \text{ dispari, a intervalli di 4 partendo da 3 (3,7,11,...)} \end{cases} \]
il mio problema dunque è, come lo posso scrivere questo coefficiente?
mi riferisco per esempio al fatto del \(\cos kx\), con \(x = \pi \), che diventa \( (-1)^k \)
ringrazio fin da ora chiunque sappia aiutarmi
sia data la funzione, \( 2\pi \) periodica, definita in \( \left [ 0, \pi \right ] \) , pari:
\[f(x) = \begin{cases}1 & 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \\
-1 & \frac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases} \]
essendo pari, i coefficienti \( b_k \) sono tutti nulli, \(a_0\) mi risulta 0, e nel calcolo di \( a_k\) mi trovo un problema:
\[a_k = \begin{cases} 0 & \text{, se } k \text{ pari} \\ \frac{4}{k\pi} &\text{, se }k \text{ dispari, a intervalli di 4 partendo da 1 (1,5,9,...)} \\ \frac{-4}{k\pi} &\text{, se } k \text{ dispari, a intervalli di 4 partendo da 3 (3,7,11,...)} \end{cases} \]
il mio problema dunque è, come lo posso scrivere questo coefficiente?
mi riferisco per esempio al fatto del \(\cos kx\), con \(x = \pi \), che diventa \( (-1)^k \)ringrazio fin da ora chiunque sappia aiutarmi
Risposte
Di sviluppi in serie dell'onda quadra ne trovi in giro molti, ad esempio:
http://fisicaondemusica.unimore.it/Svil ... nda_quadra
http://fisicaondemusica.unimore.it/Svil ... nda_quadra
grazie Quinzio, ho dato un'occhiata ma non arrivo alla soluzione, il mio preblema è rappresentare il coefficiente \(a_k\) all'interno della serie, quindi come rappresentare quel numero \(\frac{4}{k\pi}\) con indici \(k\) 1,5,9; e \(\frac{-4}{k\pi}\) con indici \(k\) 3,7,11. mi spiego meglio, per una serie aventi coefficienti per esempio \(a_k\) nulli, e \(b_k\) esistenti solo se k dispari, scrivevo \(\sum_{k=0}^N (-1)^{2k+1}\) e a fianco poi scrivevo \(sen({2k+1)x}\), in modo tale che all'interno della serie avevo per forza i termini dispari richiesti... sono riuscito a spiegarmi meglio?
Ad esempio:
\[
a_k=\frac{4}{k\pi \imath}\ \imath^{k} \quad \text{, per } k \text{ dispari}
\]
ove \(\imath\) è l'unità immaginaria.
\[
a_k=\frac{4}{k\pi \imath}\ \imath^{k} \quad \text{, per } k \text{ dispari}
\]
ove \(\imath\) è l'unità immaginaria.
Altra possibilità: spezzi in due somme dove i coefficienti compaiono nella seguente forma
$4/{(4k+1)\pi},\qquad -4/{(4k+3)\pi}$
e di conseguenza avrai $\sin[(4k+1)x]$ nella prima e $sin[(4k+3)x]$ nella seconda
$4/{(4k+1)\pi},\qquad -4/{(4k+3)\pi}$
e di conseguenza avrai $\sin[(4k+1)x]$ nella prima e $sin[(4k+3)x]$ nella seconda
vi ringrazio, mi avete illuminato 
però ritengo che la soluzione di ciampax sia generalizzabile a qualunque caso del genere...
mi spiego meglio: ho capito che se ho una serie formata per esempio da numeri che distano 5 tra di loro, partono da 2, e sono uno positivo ed uno negativo, ad esempio: \(2, -7, 12, -17, 22, -27...\) la prima cosa da fare è vedere la differenza tra i termini positivi o negativi, che in questo caso è 10, e i numeri di partenza in valore assoluto dei termini positivi e negativi: \(2, 7\). spezzo il coefficiente da inserire nella sommatoria e ne creo uno per i termini positivi ed uno per i negativi: \((10k+2), -(10k+7)\). in questo modo la sommatoria \[\sum_{k=0}^\infty ((10k+2), -(10k+7))\] rispecchia i termini della serie sopra descritta... grazie mille a tutti per l'aiuto
però ritengo che la soluzione di ciampax sia generalizzabile a qualunque caso del genere...mi spiego meglio: ho capito che se ho una serie formata per esempio da numeri che distano 5 tra di loro, partono da 2, e sono uno positivo ed uno negativo, ad esempio: \(2, -7, 12, -17, 22, -27...\) la prima cosa da fare è vedere la differenza tra i termini positivi o negativi, che in questo caso è 10, e i numeri di partenza in valore assoluto dei termini positivi e negativi: \(2, 7\). spezzo il coefficiente da inserire nella sommatoria e ne creo uno per i termini positivi ed uno per i negativi: \((10k+2), -(10k+7)\). in questo modo la sommatoria \[\sum_{k=0}^\infty ((10k+2), -(10k+7))\] rispecchia i termini della serie sopra descritta... grazie mille a tutti per l'aiuto
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