Sviluppo in serie di fourier

[CallistoBello]

Data la funzione 4-periodica definita da
$ f(x) :={ ( x^2, ", se " 0<=x<=1),( 1, ", se " 1<=x<=2):} $
e riflessa pari in $[-2,0]$
Scrivere lo sviluppo associato a questa funzione

Mio risultato: $f(x)= 2/3 + 8/pi^2 sum_(k =1) 1/k^2 {cos(kpi/2 )-2/(kpi)sin(kpi/2)}cos(kpi/2x) $ $AAx in[-2,2]$

Risultato del testo: $f(x)= 1/3 + 8/pi^2 sum_(k =1) 1/k^2 {cos(kpi/2 )-2/(kpi)sin(kpi/2)}cos(kpi/2x) $ $AAx in[0,2]$

Vorrei sapere perché il testo si trova un $a_0$ diverso
e perché considera l'intervallo $[0,2]$ nonostante la riflessa "viva" in $[-2,2]$

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Sei sicuro di quanto

"CallistoBello":
Data la funzione 4-periodica definita da
$f(x) :={ ( x^2, ", se " 0<=x<=1),( 1, ", se " 1<=x<=2):} $
e riflessa pari in $[−2,0]$

ed in particolare di quel "riflessa pari in $[- 2, 0]$"?
Perché la riflessa pari in $[- 2, 0]$ della funzione $f(x) $ è la funzione

$g(x) := {(x^2 \text{ se } |x| \le 1),(1 \text{ se } 1 \le |x| \le 2):} $

ed in tal caso a me risulta:

$a_0/2 = 1/2 \int_{- 2}^2 g(x) \text{d}x $

$a_0 = \int_{- 2}^2 g(x) \text{d}x $

$a_0 = 2 \int_0^2 f(x) \text{d}x = 2 \int_0^1 x^2 \text{d}x + 2 \int_1^2 1 \text{d}x = 2/3 + 2 = 8/3 $

Quindi salvo errori il primo termine dello sviluppo in serie di Fourier di $g(x) $ mi risulta $a_0/2 = 4/3 $
Invece per la funzione $f(x) $ proposta mi risulta:

$a_0/2 = 1/2 \int_{0}^2 f(x) \text{d}x $

$a_0 = \int_{0}^2 f(x) \text{d}x = \int_0^1 x^2 \text{d}x + \int_1^2 1 \text{d}x = 1/3 + 1 = 4/3 $

Quindi salvo errori il primo termine dello sviluppo in serie di Fourier di $f(x) $ mi risulta $a_0/2 = 2/3 $

[CallistoBello]

"pilloeffe":Perché la riflessa pari in [−2,0] della funzione f(x) è la funzione

g(x):={x2 se |x|≤11 se 1≤|x|≤2

Si, graficamente ho una semicirconferenza con ai lati due tratti costanti ad 1 .

"pilloeffe":a0=∫2−2g(x)dx

Non mi trovo.
In generale, $a_0$ per una funzione T-periodica è :

$a_0=2/T int_(a)^(b) f(x) dx$
Nel caso della funzione riflessa abbiamo che: T=4
quindi:
$a_0=2/4 int_(-2)^(2) f(x) dx=1/2 int_(-2)^(2) f(x) dx$
Ma quello è l'integrale di una funzione pari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine , quindi:
$a_0=2/2 int_(0)^(2) f(x) dx$

Che , per la proprietà di decomposizione in somma degli integrali , è:
$a_0= (int_(0)^(1) x^2 dx+ int_(1)^(2) 1 dx)$
$=[x^3/3]_[0,1]+[x]_[1,2]$
$=1/3+(2-1)=1/3+1=4/3$

quindi per la riflessa abbiamo che: $a_0=4/3$

[Mephlip]

"CallistoBello":
Si, graficamente ho una semicirconferenza con ai lati due tratti costanti ad 1 .

Attenzione, un grafico abbozzato può ingannare: sono rami di parabole, quindi unendoli non ottieni una semicirconferenza.

[CallistoBello]

"Mephlip":[quote="CallistoBello"]
Si, graficamente ho una semicirconferenza con ai lati due tratti costanti ad 1 .

Attenzione, un grafico abbozzato può ingannare: sono rami di parabole, quindi unendoli non ottieni una semicirconferenza.[/quote]

Si , non è una circonferenza , ma un ramo di parabola.

https://www.wolframalpha.com/input?i=Piecewise%5B%7B%7Bx%5E2%2C+%7Cx%7C+%3C+1%7D%2C+%7B1%2C+1%3C%3D%7Cx%7C%3C%3D2%7D%7D%5D

[pilloeffe]

"CallistoBello":Non mi trovo.

Neanch'io, hai ragione scusami...

"CallistoBello":In generale, $a_0$ per una funzione T-periodica è :

$a_0=2/T \int_a^b f(x)dx $

Questo però non va bene se non si specificano $a$ e $b$... Se $g(x)$ è definita nell'intervallo $(—L, L)$ e determinata al di fuori di questo intervallo da $g(x+2L) = g(x)$, cioè $g(x)$ ha periodo $P = 2L$, la serie di Fourier corrispondente a $g(x) $ è definita nel modo seguente:

$a_0/2 + \sum_{n = 1}^{+\infty} [a_n cos(n\pi x/L) + b_n sin(n\pi x/L)] $

dove i coefficienti $a_n$ e $b_n$ sono dati da

$ a_n = 1/L \int_{- L}^L g(x) cos(n\pi x/L) \text{d}x $

$ b_n = 1/L \int_{- L}^L g(x) sin(n\pi x/L) \text{d}x $

con $n = 0, 1, 2, ... $
Se $g(x)$ ha periodo $P = 2L$, i coefficienti $a_n$ e $b_n$ possono essere determinati equivalentemente nel modo seguente:

$ a_n = 1/L \int_{c}^{c + 2L} g(x) cos(n\pi x/L) \text{d}x $

$ b_n = 1/L \int_{c}^{c + 2L} g(x) sin(n\pi x/L) \text{d}x $

$n = 0, 1, 2, ... $
dove $c$ è un qualsiasi numero reale. Nel caso particolare $c = - L $ si ritrovano le formule scritte poc'anzi. Notare che $a_0/2 = 1/(2L) \int_{- L}^L g(x) \text{d}x $, è la media di $g(x)$ sul periodo $P = 2L $.
Nel caso in esame $L = 2 $ e quindi si ha:

$a_0/2 = 1/4 \int_{- 2}^2 g(x) \text{d}x = 1/2 \int_{0}^2 f(x) \text{d}x = 1/2(\int_0^1 x^2 \text{d}x + \int_1^2 1 \text{d}x) = 1/2(1/3 + 1) = 2/3$

Quindi, per concludere, ritengo che sia corretto il risultato che hai ottenuto tu ed errato quello del testo.

[CallistoBello]

"pilloeffe":Questo però non va bene se non si specificano a e b...

Quindi se io "esplicitassi" i due estremi in termini del periodo T come $a=-T/2$ e $b=T/2$ , andrebbe bene quella formula?

"pilloeffe":Quindi, per concludere, ritengo che sia corretto il risultato che hai ottenuto tu ed errato quello del testo.

Ed invece , per quanto riguarda l'intervallo in cui è stata sviluppata la $f(x)$ ?

La serie di fourier converge puntualmente proprio al valore di $f(x)$ in tutto $[-2,2]$,
quindi mi aspetterei che quello sviluppo sia valido $AAx in [-2,2]$

Domanda: perché , invece, il testo indica : $AA x in [0,2]$ ?

[pilloeffe]

"CallistoBello":Quindi se io "esplicitassi" i due estremi in termini del periodo $T$ come $a = −T/2 $ e $b = T/2 $, andrebbe bene quella formula?

Sì, esatto.

"CallistoBello":La serie di fourier converge puntualmente proprio al valore di $f(x)$ in tutto $[−2,2]$,
quindi mi aspetterei che quello sviluppo sia valido $\forall x \in [−2,2]$

La serie di Fourier converge puntualmente al valore di $g(x) $ in tutto $[−2,2]$: al contrario di $g(x) $, la funzione $f(x) $ non è definita in $[−2,0)$.

[CallistoBello]

"pilloeffe":[quote="CallistoBello"]Quindi se io "esplicitassi" i due estremi in termini del periodo $T$ come $a = −T/2 $ e $b = T/2 $, andrebbe bene quella formula?

Sì, esatto.

"CallistoBello":La serie di fourier converge puntualmente proprio al valore di $f(x)$ in tutto $[−2,2]$,
quindi mi aspetterei che quello sviluppo sia valido $\forall x \in [−2,2]$

La serie di Fourier converge puntualmente al valore di $g(x) $ in tutto $[−2,2]$: al contrario di $g(x) $, la funzione $f(x) $ non è definita in $[−2,0)$.[/quote]


Mi trovo col tuo ragionamento , ma proprio per questo non mi trovo col testo.

Leggendo il testo dell'esercizio io ne deduco che: la funzione da periodizzare è $g(x)$ (f(x)+la sua riflessa)
e non la $f(x)$.
Quindi mi aspetto che la serie di fourier associata a questa funzione converga in [-2,2].

Domanda: ho sbagliato? Nonostante la funzione con cui ragiono sia quella ottenuta dalla riflessione , devo comunque dire che: quello sviluppo è lo sviluppo della $f(x)$ non riflessa?