Sviluppo in fratti semplici

[dazuco]

Scusate ragazzi è sicuramente una cosa semplice ma non riesco a capire come funziona lo sviluppo in fratti semplici.
Ad esempio per
1/[(s^2 +2s +2)*s]
Praticamente dovrei trovare 3 residui perchè i poli sono appunto 3 ed precisamente
p1=0
p2=-1+j
p3=-1-j
Ora come devo procedere ?
Vi ringrazio
dz

[elgiovo]

Sono poli semplici, quindi $Res[1/(s(s^2+2s+2)),p_k]=1/(d/(ds)[s(s^2+2s+2)]|_(s=p_k))$,
che restituisce $1/2$, $-1/4+1/4 j$, $-1/17 -4/17 j$ al variare di $k$ tra $1$ e $3$.
Più in generale, se la funzione è del tipo $(P(s))/(Q(s))$ e se il polo in $s_0$ è semplice, allora
$Res[(P(s))/(Q(s)),s_0]=(P(s_0))/(Q'(s_0))$.

[dazuco]

scusa elgiovo potresti sviluppare in dettaglio uno solo almeno dei residui complessi coniugati?
grazie

[elgiovo]

E' presto fatto: $Res[1/(s(s^2+2s+2)),-1+j]=1/(d/(ds)[s(s^2+2s+2)]|_(s=-1+j))=1/(3s^2+4s+2)|_(s=-1+j)=1/(3(-1+j)^2+4(-1+j)+2)=-1/4+j/4$.
Non deve spaventare il fatto che i poli siano complessi: la formula rimane sempre $Res[(P(s))/(Q(s)),s_0]=(P(s_0))/(Q'(s_0))$.

[dazuco]

quindi una volta trovati i residui li vado a sostituire nell'espressione R1/(s-p1) + R2/(s-p2) + R3/(s-p3)
Puoi cortesemente se non ti chiedo tanto dettagliarmi anche questa parte per verificarla con quanto fatto da me.
Fatto questo devo applicare l'antitrasformata di laplace più facilmente perchè dovrei avere dei termini che mi dovrebbero ricondurre a delle formule note.

[elgiovo]

Si, è corretto, non devi far altro che sostituire e antitrasformare.

[dazuco]

ti ringrazio ancora
dz