Sviluppo espressione
Ciao a tutti 
Ho svolto un esercizio e mi piacerebbe conoscere il vostro parere in merito.
"Sviluppare per x --> + infinito l'espressione $sqrt(x^4 + 2x^3 - x^2) + o(1)$ in potenze di x e alla massima precisione consentita".
Faccio subito una domanda...ma $o(1)$ lo posso omettere? Sbaglio o è $= 0$?
Ecco come ho svolto l'esercizio:
$sqrt(x^4 + 2x^3 - x^2) + o(1) = sqrt(x^4 (1 + 2/x - 1/x^2)) + o(1) = |x^2| sqrt(1 + 2/x - 1/x^2) + o(1) = $
sciolgo il modulo positivamente...causa x --> + infinito!!
$x^2 sqrt(1 + 2/x - 1/x^2) + o(1) $
Sostituisco: $t = 1/x$ che implica $t -> 0$
$1/t^2 sqrt(1 + 2t - t^2) + o(1)$
Utilizzo lo sviluppo: $sqrt(1 + x) = 1 + 1/2x - 1/8x^2 + o(x^2)$ dove la mia $x = 2t - t^2$
$1/t^2[1 + 1/2(2t - t^2) - 1/8(2t - t^2)^2 + o((2t - t^2)^2)] + o(1)$
$1/t^2[1 + t - 1/2 t^2 - 1/8(4t^2 + t^4 - 4t^3) + o(4t^2 + t^4 - 4t^3)] + o(1)$
scelgo l'o - piccolo di grado inferiore causa $t --> 0$
$1/t^2[1 + t - 1/2 t^2 - 1/2 t^2 - 1/8 t^4 + 1/2 t^3 + o(t^2)] + o(1)$
$1/t^2 + 1/t - 1/2 - 1/2 + o(1) + o(1) = 1/t^2 + 1/t -1 + o(1) = x^2 + x - 1 + o(1)$
È corretto? ho dei dubbi causa $o(1)$, ecco perché chiedo...
Grazie
AGGIORNAMENTO
Ho risolto grazie a questa discussione
o-piccolo-di-1-t89787.html
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"Sviluppare per x --> + infinito l'espressione $sqrt(x^4 + 2x^3 - x^2) + o(1)$ in potenze di x e alla massima precisione consentita".
Faccio subito una domanda...ma $o(1)$ lo posso omettere? Sbaglio o è $= 0$?
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$sqrt(x^4 + 2x^3 - x^2) + o(1) = sqrt(x^4 (1 + 2/x - 1/x^2)) + o(1) = |x^2| sqrt(1 + 2/x - 1/x^2) + o(1) = $
sciolgo il modulo positivamente...causa x --> + infinito!!
$x^2 sqrt(1 + 2/x - 1/x^2) + o(1) $
Sostituisco: $t = 1/x$ che implica $t -> 0$
$1/t^2 sqrt(1 + 2t - t^2) + o(1)$
Utilizzo lo sviluppo: $sqrt(1 + x) = 1 + 1/2x - 1/8x^2 + o(x^2)$ dove la mia $x = 2t - t^2$
$1/t^2[1 + 1/2(2t - t^2) - 1/8(2t - t^2)^2 + o((2t - t^2)^2)] + o(1)$
$1/t^2[1 + t - 1/2 t^2 - 1/8(4t^2 + t^4 - 4t^3) + o(4t^2 + t^4 - 4t^3)] + o(1)$
scelgo l'o - piccolo di grado inferiore causa $t --> 0$
$1/t^2[1 + t - 1/2 t^2 - 1/2 t^2 - 1/8 t^4 + 1/2 t^3 + o(t^2)] + o(1)$
$1/t^2 + 1/t - 1/2 - 1/2 + o(1) + o(1) = 1/t^2 + 1/t -1 + o(1) = x^2 + x - 1 + o(1)$
È corretto? ho dei dubbi causa $o(1)$, ecco perché chiedo...
Grazie
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o-piccolo-di-1-t89787.html
Risposte
Non ti preoccupare dell'o-piccolo di 1, è una scrittura per dire "una cosa che tende a zero" (del resto, te ne accorgi applicando la definizione di o-piccolo). Qui stai sviluppando cose che tendono a infinito e quindi puoi tranquillamente trascurarlo.
Per il resto, la parte principale $x^2+x-1$ del tuo risultato è corretta ma non hai scritto qual è l'errore che commetti. In soldoni, manca un o-piccolo (o un O grande, come vuoi).
Per il resto, la parte principale $x^2+x-1$ del tuo risultato è corretta ma non hai scritto qual è l'errore che commetti. In soldoni, manca un o-piccolo (o un O grande, come vuoi).
Io ho concluso affermando che il risultato è $-1 + o(1)$.
Giusto?
Giusto?
No. Stai sviluppando per $x\to +\infty$.
Uhm, io ho considerato questo risultato in quanto ho $o(1)$ e quindi devo sviluppare "all'ordine zero". Mi sbaglio? È anche vero che x --> + infinito, ma non ho capito come comportarmi in questo caso.
Che il risultato sia $x^2 + x$?
Intanto grazie per il tuo aiuto
Che il risultato sia $x^2 + x$?
Intanto grazie per il tuo aiuto
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