Sviluppo e convergenza della serie di Mac Laurin

[lishi]

Avevo il seguente dubbio.

Dato f(x)

$ f(x) = { \frac{1}{x} log(1+ \frac{x^2}{2}) $ se $x!= 0 $
$ 0 $ se $ x = 0$

Calcolare la serie di Mac Laurin è studiarne intervallo di convergenza valutando il comportamento agli estremi.

Allora :

La funzione è continua per x = 0, però calcolandone il rapporto incrementale su 0 :

$lim_(h \rightarrow 0)\frac{1/(x + h)·ln(1 + (x + h)^2/2)}{h}$

tende è infinito.

Che fosse una domanda tranello?

[alberto861]

la serie di Mac Laurin di $log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-...$ quindi per $log(1+\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{2^2 * 2}+\frac{x^6}{2^3 *3} ...$ infine per $\frac{log(1+\frac{x^2}{2})}{x}=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{(k+1)} \frac{x^{2k-1}}{k 2^k }$

[lishi]

"alberto86":la serie di Mac Laurin di $log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-...$ quindi per $log(1+\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{2^2 * 2}+\frac{x^6}{2^3 *3} ...$ infine per $\frac{log(1+\frac{x^2}{2})}{x}=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{(k+1)} \frac{x^{2k-1}}{k 2^k }$

Non ho scritto bene la funzione. non è

$\frac{log(1+\frac{x^2}{2})}{x}$

Quella giusta è questa

[alberto861]

è la stessa perchè $\frac{log(1+\frac{x^2}{2})}{x} = \frac{1}{x} log(1+\frac{x^2}{2})$..definendola come nell'esercizio è differenziabile nell'origine anzi è analitica con sviluppo in serie come quello che ti ho descritto con raggio di convergenza $2$ e per $x=2$ non converge perchè avresti $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^(k+1) \frac{2^(3k-1)}{k} $ che diverge

[lishi]

"alberto86":è la stessa perchè $\frac{log(1+\frac{x^2}{2})}{x} = \frac{1}{x} log(1+\frac{x^2}{2})$..definendola come nell'esercizio è differenziabile nell'origine anzi è analitica con sviluppo in serie come quello che ti ho descritto con raggio di convergenza $2$ e per $x=2$ non converge perchè avresti $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^(k+1) \frac{2^(3k-1)}{k} $ che diverge

Visto che f(0) = 0.

Non si avrebbe che le derivate di f in 0 di ogni ordine sono pari alla funzione nulla?

Da cui la serie diventerebbe $\sum_{k = 1}^{\infty} 0.

Che ovviamente non converge certamente a f(x).