Sviluppo di una funzione integrale
Come si fa a sviluppare una funzione integrale tipo $F(x)=int_0^x (sent)/t$ fino al 5 ordine.
Poi sui miei libri d'analisi non e' detto nulla di funzioni di quel tipo, qualcuno mi saprebbe dare qualche link? Perche' allo scorso appello il prof. aveva messo la derivata di una funzione integrale (la derivata l'ho gia trovata sul forum, grazie) ed adesso questa cosa qua. Come si trattano le funzioni di quel tipo e che rappresentato?
grazie!
Poi sui miei libri d'analisi non e' detto nulla di funzioni di quel tipo, qualcuno mi saprebbe dare qualche link? Perche' allo scorso appello il prof. aveva messo la derivata di una funzione integrale (la derivata l'ho gia trovata sul forum, grazie) ed adesso questa cosa qua. Come si trattano le funzioni di quel tipo e che rappresentato?
grazie!
Risposte
Grazie, ma l'ho visto pure ieri. Il problema e' che non so che cosa fa l'o piccolo dopo lo sviluppo e se bisognava integrare i membri dopo lo sviluppo quindi volevo un suggerimento!
La funzione integranda $sint/t $ non è definita in $t=0 $; prolunghiamola allora per continuità in $ t=0 $ imponendo che valga $1$ , che non è altro che il valore del limite.
Sviluppiamo ora la funzione $F(x) $ secondo Mac Laurin in un intorno di $x_0=0 $ dopo aver fatto questa considerazione :
la derivata e la primitiva di una funzione pari sono dispari ; la derivata e la primitiva di una funzione dispari sono pari.
In questo caso la funzione integranda è pari ( rapporto tra 2 funzioni dispari) e quindi la funzione integrale $F(x)$ sarà dispari .
Nello sviluppo mancheranno quindi i termini del tipo $x^(2n)$ .
Otteniamo quindi:
$F(x) = F(0)+F'(0)*x +F'''(0)*x^3/(3!) +F^(5)(0)*x^5/(5!) +o(x^5)$
Naturalmente è $ F(0) = 0 $ ; per ottenere $F'(x)$ basta ricordare il teorema fondamentale del calcolo integrale e quindi $F'(x)= sinx/x $ che per $ x to 0 $ vale $1$; quindi $ F'(0) = 1 $ .
Si procede poi derivando la$ F(x) $ e con qualche calcolo si ottiene che :
$F(x) = x-x^3/18+x^5/600 +o(x^5)$.
Da notare che la funzione $F(x) $ non è esprimibile in forma chiusa , ma essendo importante ha addirittura ricevuto un nome : Integral seno o seno integrale $Si(x) $ .
Sviluppiamo ora la funzione $F(x) $ secondo Mac Laurin in un intorno di $x_0=0 $ dopo aver fatto questa considerazione :
la derivata e la primitiva di una funzione pari sono dispari ; la derivata e la primitiva di una funzione dispari sono pari.
In questo caso la funzione integranda è pari ( rapporto tra 2 funzioni dispari) e quindi la funzione integrale $F(x)$ sarà dispari .
Nello sviluppo mancheranno quindi i termini del tipo $x^(2n)$ .
Otteniamo quindi:
$F(x) = F(0)+F'(0)*x +F'''(0)*x^3/(3!) +F^(5)(0)*x^5/(5!) +o(x^5)$
Naturalmente è $ F(0) = 0 $ ; per ottenere $F'(x)$ basta ricordare il teorema fondamentale del calcolo integrale e quindi $F'(x)= sinx/x $ che per $ x to 0 $ vale $1$; quindi $ F'(0) = 1 $ .
Si procede poi derivando la$ F(x) $ e con qualche calcolo si ottiene che :
$F(x) = x-x^3/18+x^5/600 +o(x^5)$.
Da notare che la funzione $F(x) $ non è esprimibile in forma chiusa , ma essendo importante ha addirittura ricevuto un nome : Integral seno o seno integrale $Si(x) $ .
Grazie mille! Sei stato chiarissimo!
Io invece ieri ad esame ho sviluppato sent poi diviso tutti i membri per t, e poi ho integrato ogni membro (anche senza esser troppo sicura), l'unico problema e' stato che non capivo come si faceva a ragionare su o piccoli. Grazie!
Io invece ieri ad esame ho sviluppato sent poi diviso tutti i membri per t, e poi ho integrato ogni membro (anche senza esser troppo sicura), l'unico problema e' stato che non capivo come si faceva a ragionare su o piccoli. Grazie!
E' corretto quello che hai fatto, anzi più veloce del mio...
Sviluppi $sin t $ arrestandoti al termine in $t^5$ che dividi per $ t $ e poi integri e quindi torni ad avere un termine in $x^5 $ e poi $+ o(x^5) $.
Sviluppi $sin t $ arrestandoti al termine in $t^5$ che dividi per $ t $ e poi integri e quindi torni ad avere un termine in $x^5 $ e poi $+ o(x^5) $.
bene vuol dire che almeno qualcosa non ho sbagliato 
Ma poi adesso che ci ripenso, non sarebbe piu' preciso sviluppare fino al ordine 7 e vedere che o piccolo viene $o(x^6)$ oppure $O(x^7)$
Grazie per la disponibilità'.
Ma poi adesso che ci ripenso, non sarebbe piu' preciso sviluppare fino al ordine 7 e vedere che o piccolo viene $o(x^6)$ oppure $O(x^7)$
Grazie per la disponibilità'.
E lo sviluppo di $F(x)=int_0^x (sent^2)/t$ fino al 8 ordine. Si sviluppa fino al 6 ordine e poi si scrive $o(x^8)$?
Se si richiede lo sviluppo fino al termine di ordine $n $ si dovrà arrivare fino a $... +k*x^n +o(x^n) $ .
si, ma sia $x^7$ che $x^8$ si annullano, che resta? il termine di ordine 6 + $o(x^8)$? 
Non ho fatto i conti , che si annulli il termine in $x^7 $ come tutti i termini dispari è corretto perchè la funzione è pari ; mi suona strano che si annulli il termine in $x^8$
mmm potresti controllare i miei passaggi? Quindi si ha:
$sinx=x-x^3/{3!}+x^5/{5!$
$sinx^2=x^2-x^6/{3!}+x^10/{10!}$
$sinx^2/x=x-x^5/{3!}+x^9/{5!}$
$sinx=x-x^3/{3!}+x^5/{5!$
$sinx^2=x^2-x^6/{3!}+x^10/{10!}$
$sinx^2/x=x-x^5/{3!}+x^9/{5!}$
Quando calcoli $sin^2 x $ dove sono i doppi prodotti ? ricorda che $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.
Lo sviluppo di $sin x $ che hai fatto non è sufficiente ,devi porre : $sinx= x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!) +o(x^7)$ .
Se non fai così perdi degli elementi , nel senso che quando elevi al quadrato e fai appunto i doppo prodotti , il doppio prodotto tra il primo elemento $ x $ e l'ultimo $ x^7/(7!) $ ha come risultato un elemento del tipo $ k*x^8 $ che è fondamentale non trascurarae per la correttezza del risultato finale .
Infatti il risultato di questo elevamento al quadrato va poi diviso per $x $ e quidni scende di un grado, ma va poi integrato e quindi risale di un grado, tornando a $ x^8 $ e tu vuoi lo sviluppo fino al grado 8 appunto.
Spero di essermi spiegato...
Lo sviluppo di $sin x $ che hai fatto non è sufficiente ,devi porre : $sinx= x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!) +o(x^7)$ .
Se non fai così perdi degli elementi , nel senso che quando elevi al quadrato e fai appunto i doppo prodotti , il doppio prodotto tra il primo elemento $ x $ e l'ultimo $ x^7/(7!) $ ha come risultato un elemento del tipo $ k*x^8 $ che è fondamentale non trascurarae per la correttezza del risultato finale .
Infatti il risultato di questo elevamento al quadrato va poi diviso per $x $ e quidni scende di un grado, ma va poi integrato e quindi risale di un grado, tornando a $ x^8 $ e tu vuoi lo sviluppo fino al grado 8 appunto.
Spero di essermi spiegato...
mmm mi sa che non e' il seno che era al quadro ma l'argomento, cioe non era $sin^2t$ ma $sint^2$.
Ho interpretato male quanto scritto 
In effetti lo sviluppo della funzione integrale è : $ x^2/2-x^6/36 +o(x^6) $ in quanto il termine in $x^8 $ è nullo, quello in $x^7 $ è ovviamente nullo perchè la funzione è pari.
Il termine successivo è infatti $ x^10 $.
In effetti lo sviluppo della funzione integrale è : $ x^2/2-x^6/36 +o(x^6) $ in quanto il termine in $x^8 $ è nullo, quello in $x^7 $ è ovviamente nullo perchè la funzione è pari.
Il termine successivo è infatti $ x^10 $.
quindi bisognava sviluppare fino al 6 ordine ^^''
Grazie mille per l'aiuto se posso ti chiedo un'altra cosa, come si puo' ragionare su $o$ cioe' come facciamo a vedere se in quel caso e' possibile sostituire $o(x^6)$ con un'altro $o$,
thanks in advance.
Grazie mille per l'aiuto se posso ti chiedo un'altra cosa, come si puo' ragionare su $o$ cioe' come facciamo a vedere se in quel caso e' possibile sostituire $o(x^6)$ con un'altro $o$,
thanks in advance.
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