Sviluppo di Taylor e serie
Ciao, ho un paio di esercizi su cui ho dei dubbi. Potreste postarmi lo svolgimento nei dettagli? 
1. Dimostrare che la funzione
f: ]-1,1[ --> R
$f(x)= int_{0}^{x} (sqrt(1-t^2)) dt$
è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0 =0$ in ogni punto x appartenente a ]-1,1[.
Calcolare poi $f^{(5)} (0)$.
2. (in questo mi sa che faccio qualche errore nel calcolare il raggio di convergenza) Studiare la convergenza della serie
$sum_{n=0}^{\infty} (2^n + 3^n)x^n$
Grazie mille a chi mi risponderà!!
Paola
1. Dimostrare che la funzione
f: ]-1,1[ --> R
$f(x)= int_{0}^{x} (sqrt(1-t^2)) dt$
è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0 =0$ in ogni punto x appartenente a ]-1,1[.
Calcolare poi $f^{(5)} (0)$.
2. (in questo mi sa che faccio qualche errore nel calcolare il raggio di convergenza) Studiare la convergenza della serie
$sum_{n=0}^{\infty} (2^n + 3^n)x^n$
Grazie mille a chi mi risponderà!!
Paola
Risposte
2. La serie data è uguale alla serie:
$sum_(n=0)^(oo) ( (2x)^n + (3x)^n)
quindi è somma di due serie geometriche
la cui successione delle somme parziali è:
$S_n:=(1-(2x)^(n+1))/(1-2x) + (1-(3x)^(n+1))/(1-3x)$
quindi devi studiare per quali x reali
converge questa successione.
$sum_(n=0)^(oo) ( (2x)^n + (3x)^n)
quindi è somma di due serie geometriche
la cui successione delle somme parziali è:
$S_n:=(1-(2x)^(n+1))/(1-2x) + (1-(3x)^(n+1))/(1-3x)$
quindi devi studiare per quali x reali
converge questa successione.
Non ci avevo pensato, ed era una stupidaggine :p Vedi a autointrappolarsi nei procedimenti consueti, sigh!!
Amerò molto chi mi risolverà l'altro quesito
, thanks!!
Paola
Amerò molto chi mi risolverà l'altro quesito
, thanks!!Paola
1) Eseguendo l'integrale si ha:
$f(x)=1/2(arcsinx + xsqrt(1-x^2))
e la funzione $f(x)$ è derivabile
infinite volte in $(-1,1)$, perciò
si può fare lo sviluppo di Taylor
in quest'intervallo. Per calcolare
$f^(5)(0)$ conviene determinare
il polinomio di Mac Laurin (cioè per $x->0$)
di grado 5 e farne la derivata quinta,
otterrai $f^(5)(0)= -3$.
$f(x)=1/2(arcsinx + xsqrt(1-x^2))
e la funzione $f(x)$ è derivabile
infinite volte in $(-1,1)$, perciò
si può fare lo sviluppo di Taylor
in quest'intervallo. Per calcolare
$f^(5)(0)$ conviene determinare
il polinomio di Mac Laurin (cioè per $x->0$)
di grado 5 e farne la derivata quinta,
otterrai $f^(5)(0)= -3$.
Se scriviamo la serie come somma di due otteniamo...
$sum_(n=0)^(+oo) (2^n+3^n)*x^n= $
$=sum_(n=0)^(+oo) (2x)^n + sum_(n=0)^(+oo) (3x)^n$ (1)
Il primo termine è una serie con raggio di convergenza $r=1/2$, il secondo con raggio di convergenza $r=1/3$. Di conseguenza la serie data sarà convergente per $|x|<1/3$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=0)^(+oo) (2^n+3^n)*x^n= $
$=sum_(n=0)^(+oo) (2x)^n + sum_(n=0)^(+oo) (3x)^n$ (1)
Il primo termine è una serie con raggio di convergenza $r=1/2$, il secondo con raggio di convergenza $r=1/3$. Di conseguenza la serie data sarà convergente per $|x|<1/3$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Esatto, e questa è la soluzione che avevo trovato anche io...
Grazie mille a entrambi!
Paola
Paola
Per quanto riguarda il primo problema, secondo me la strada più comoda è quella che segue. Si parte dallo sviluppo della funzione $f(t)= sqrt(1-t)$ in serie binomiale…
$sqrt (1-t)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n ((1/2),(n))* t^n$
$((1/2),(n)) = (1/2*(1/2-1)*(1/2-2)...(1/2-n+1))/(n!)$ (1)
Scrivendo nella (1) $t^2$ al posto di $t$ si ottiene…
$sqrt (1-t^2)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n ((1/2),(n))* t^(2n)$ (2)
Dalla (2) applicando il teorema di integrazione per serie si ottiene direttamente lo sviluppo richiesto…
$f(x)= int_0^x sqrt (1-t^2)*dt= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1)*((1/2),(n))*x^(2n+1)$ (3)
Il valore di $f^(5)(0)$ si ottiene moltiplicando il coeffciente del termine di grado $5$ della (3) per $5!$ ed è…
$f^(5)(0)= ((1/2),(2))*(5!)/5=1/2*(-1/2)*(4!)/(2!) =-3$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sqrt (1-t)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n ((1/2),(n))* t^n$
$((1/2),(n)) = (1/2*(1/2-1)*(1/2-2)...(1/2-n+1))/(n!)$ (1)
Scrivendo nella (1) $t^2$ al posto di $t$ si ottiene…
$sqrt (1-t^2)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n ((1/2),(n))* t^(2n)$ (2)
Dalla (2) applicando il teorema di integrazione per serie si ottiene direttamente lo sviluppo richiesto…
$f(x)= int_0^x sqrt (1-t^2)*dt= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1)*((1/2),(n))*x^(2n+1)$ (3)
Il valore di $f^(5)(0)$ si ottiene moltiplicando il coeffciente del termine di grado $5$ della (3) per $5!$ ed è…
$f^(5)(0)= ((1/2),(2))*(5!)/5=1/2*(-1/2)*(4!)/(2!) =-3$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
La derivata quinta valutata in x=0 è -3, non -1/20, conferma Derive...
In effetti nel fare i conti a mano sono peggio di una serva!... 
Allora, dato lo sviluppo in serie...
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1)*((1/2),(n))*x^(2n+1)$ (1)
... il coefficiente di $x^5$ vale...
$a_5= 1/5* ((1/2),(2))= (1/2*(-1/2))/(5*2!)$ (2)
... il quale, moltiplicato per $5!$ fornisce...
$f^((5)) (0)= 1/2*(-1/2)*(4!)/(2!)= -3$ (3)
Non prendetevela troppo con me ragazzi... è la vecchiaia!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Allora, dato lo sviluppo in serie...
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1)*((1/2),(n))*x^(2n+1)$ (1)
... il coefficiente di $x^5$ vale...
$a_5= 1/5* ((1/2),(2))= (1/2*(-1/2))/(5*2!)$ (2)
... il quale, moltiplicato per $5!$ fornisce...
$f^((5)) (0)= 1/2*(-1/2)*(4!)/(2!)= -3$ (3)
Non prendetevela troppo con me ragazzi... è la vecchiaia!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Propongo una soluzione alternativa al quesito numero 1. Uso $z$ come variabile per ovvi motivi.
Dunque $f(z) = 1/2(arcsinz + zsqrt(1-z^2))$, con $z in CC$.
Esprimo $z$ come somma di una parte reale e una immaginaria del tipo $z=x+jy$ e riscrivo la nuova $f$, che adesso sarà funzione complessa di due variabili reali $f(x,y) = 1/2(arcsin(x+jy) + (x+jy)sqrt(1-(x+jy)^2))$.
Orbene, tale funzione è derivabile parzialmente rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Si verifica facilmente che $AA z : |z|<1$ le derivate parziali sono continue ove $y$ assume valore nullo, ovvero sull'intervallo della retta reale $]-1,1[$.
Ma allora la funzione $f(x,y)$ è differenziabile nell'intervallo dell'asse delle ascisse $]-1,1[$.
Occorre notare un'altra cosa: per ogni punto di suddetto intervallo è verificata un'altra importante condizione, cioè
$d/dx f(x,y) = 1/j d/dy f(x,y)$ nota come condizione di Cauchy-Riemann...
Perbacco, ma allora la funzione complessa di variabile complessa $f(z) = 1/2(arcsinz + zsqrt(1-z^2))$ è olomorfa nell'intervallo $]-1,1[$ della retta reale.
Ricordando la ben nota equivalenza tra olomorfia e analiticità, $f(z)$ è sviluppabile in serie unilatera di potenze di punto iniziale $z_0$ per qualunque $z_0$ contenuto nell'insieme di olomorfia.
Dunque $f(z) = 1/2(arcsinz + zsqrt(1-z^2))$, con $z in CC$.
Esprimo $z$ come somma di una parte reale e una immaginaria del tipo $z=x+jy$ e riscrivo la nuova $f$, che adesso sarà funzione complessa di due variabili reali $f(x,y) = 1/2(arcsin(x+jy) + (x+jy)sqrt(1-(x+jy)^2))$.
Orbene, tale funzione è derivabile parzialmente rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Si verifica facilmente che $AA z : |z|<1$ le derivate parziali sono continue ove $y$ assume valore nullo, ovvero sull'intervallo della retta reale $]-1,1[$.
Ma allora la funzione $f(x,y)$ è differenziabile nell'intervallo dell'asse delle ascisse $]-1,1[$.
Occorre notare un'altra cosa: per ogni punto di suddetto intervallo è verificata un'altra importante condizione, cioè
$d/dx f(x,y) = 1/j d/dy f(x,y)$ nota come condizione di Cauchy-Riemann...
Perbacco, ma allora la funzione complessa di variabile complessa $f(z) = 1/2(arcsinz + zsqrt(1-z^2))$ è olomorfa nell'intervallo $]-1,1[$ della retta reale.
Ricordando la ben nota equivalenza tra olomorfia e analiticità, $f(z)$ è sviluppabile in serie unilatera di potenze di punto iniziale $z_0$ per qualunque $z_0$ contenuto nell'insieme di olomorfia.
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