Sviluppo di Taylor e o-piccolo

[pepper9]

Buongiorno,
in un esercizio devo stabilire lo sviluppo di Taylor di $e^(x+x^2)$
non capisco se come si faccia a stabilire il grado di approssimazione (ovviamente per $x->0$)
la forma corretta è
$1+(x+x^2)+o(x)$
oppure
$1+(x+x^2)+o(x^2)$
e perché?

Grazie in anticipo!!

[HaldoSax]

Ciao pepper 9, lo svilupo di Taylor per $x->0$ dell'esponenziale è:

$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+........+x^n/(n!)+o(x^n)$

L'ordine dipende dall'esercizio, al prim'ordine, $n=1$, nel tuo caso lo sviluppo è:

$e^(x+x^2)=1+x+x^2+o(x+x^2)$

$x+x^2=o(1)$

Perché

$\lim_(x->0) (x+x^2)/1->0$

$e^(x+x^2)=1+x+x^2+o(1)$

al second'ordine, $n=2$, si ha:

$e^(x+x^2)=1+x+x^2+(x+x^2)^2/2+o(x)$

$(x+x^2)^2=o(x)$

perché

$\lim_(x->0) (x+x^2)^2/x->0$

Se hai domande chiedi pure

[gugo82]

"HaldoSax":$e^(x+x^2)=1+x+x^2+o(1)$

Parafrasando er Pomata: “Questa è la più grossa stronzata mai sentita da quanno Newton inventò er Calcolo”.
L’approssimazione al secondo ordine non è scritta meglio.

Se vuoi dare un suggerimento, almeno assicurati di darlo corretto.

[dissonance]

@gugo:

"HaldoSax":Ciao pepper 9, lo svilupo di Taylor per $x->0$ dell'esponenziale è:

$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+........+x^n/(n!)+o(x^n)$

L'ordine dipende dall'esercizio, al prim'ordine, $n=1$, nel tuo caso lo sviluppo è:

$e^(x+x^2)=1+x+x^2+o(x+x^2)$

Fin qui va bene.

[HaldoSax]

Perché Gugo? Ho applicato semplicemente le definizioni di O piccolo e dello sviluppo, non capisco dove sia l'errore

[Obidream]

"HaldoSax":Perché Gugo? Ho applicato semplicemente le definizioni di O piccolo e dello sviluppo, non capisco dove sia l'errore

Perché lo sviluppo al primo ordine per $x->0$ è:

$e^(x+x^2) = 1 + x + o(x)$

Al secondo:

$1 + (x+x^2) + (x+x^2)^2/2 + o((x+x^2)^2)$

$1+x+3/2x^2+o(x^2)$