Sviluppo di Taylor, è lecito scriverlo così?

[fireball1]

Molte volte, in corsi non di Matematica, ho visto scrivere lo sviluppo di Taylor di una funzione a valori reali di variabile reale, diciamo almeno derivabile [tex]n+1[/tex] volte, in questo modo:
[tex]f(x)=T_n(x) + O((x-x_0)^{n+1})[/tex], cioè con [tex]O((x-x_0)^{n+1})[/tex] al posto di [tex]o((x-x_0)^n)[/tex],
dove [tex]T_n(x)[/tex] è il polinomio di Taylor di grado [tex]n[/tex] della funzione centrato in [tex]x_0[/tex].
Ma è corretto scrivere lo sviluppo di Taylor in questo modo? E' forse una versione della formula di Taylor con resto secondo Lagrange?
Credo però che si debba supporre almeno che la derivata (n+1)-esima sia limitata nell'intervallo dove [tex]f[/tex] è definita... Che ne dite?

[dissonance]

Si in effetti hai ragione, dire $o((x-x_0)^n)$ e dire $O((x-x_0)^{n+1})$ non è proprio la stessa cosa in generale, nel senso che potrebbe esserci qualche o-piccolo di $(x-x_0)^n$ che non è abbastanza "piccolo" da arrivare ad essere un O grande di $(x-x_0)^{n+1}$. Per esempio la funzione $|x|^{1/2}$ è per $x \to 0$ un o-piccolo di $x^0$ ma non è un O grande di $x^1$.

Ma quando parli di resti di serie di potenze, ovviamente, il problema non si pone perché è chiaro che in questo caso le due cose sono equivalenti. E quindi le due scritture coincidono per tutte le funzioni analitiche, il che già basterebbe a giustificare l'uso dell'O grande in tutte le applicazioni.

Di più, come giustamente noti tu, se l'ultima derivata si mantiene limitata (e aggiungo: è sufficiente che lo sia in un intorno di $x_0$), ancora le due formulazioni coincidono. Quindi, ogni volta che hai una funzione di classe $C^{n+1}$ puoi sviluppare e usare l'O grande senza patemi d'animo, mentre dovresti porti problemi se l'ultima derivata esiste ma non è continua e nemmeno limitata in un intorno di $x_0$: non è un caso troppo significativo, in questo contesto.

[fireball1]

Ok, grazie!