Sviluppo di Taylor di sin(x^6)

[lorenzo1234567]

Buonasera, ho un esercizio in cui devo approssimare $ sin(x^6) $ con lo sviluppo di Taylor centrato in $x_0 = 0$. Ho provato a svolgere e ricontrollare i conti più e più volte (spoiler sotto) e il risultato che ottengo è sempre $41x^6-36x^18 + o(x^18)$ che però è sbagliato (dovrebbe essere $x^6-x^18/6+o(x^18)$).
Cosa sbaglio??

$f(x)=sin(x^6)$
$f^((1))(x)=6x^5cos(x^6)$
$f^((2))(x)=6x^4(5cos(x^6)-6x^6sin(x^6))$
$f^((3))(x)=-12x^3(45x^6sin(x^6)+2(9x^12-5)cos(x^6))$

$f(0)=0$
$f^((1)) (0)=6x^5$
$f^((2)) (0)=6x^4*5=30x^4$
$f^((3)) (0)=-12x^3(2(9x^12-5))=-12x^3(18x^12-10)=-216x^15+120x^3$

Aggiungendo il fattoriale $i!$ e $x^i$ degli sviluppi in serie otteniamo:
$f(0)+f^((1))(0)*x+(f^((2))(0)*x^2)/2+(f^((3))(0)*x^3)/6 = 0 + 6x^6 + 30x^6/2 - 216x^18/6 +120x^6/6 = 6x^6 + 15x^6 + 20x^6 - 36x^18 = 41x^6 - 36x^18$

[Mephlip]

Perché $f'(0)=6x^5$? Hai che $f'(x)=6x^5 \cos(x^6)$ e dunque $f'(0)=6\cdot 0^5 \cos(0^6)=0$, questo errore viene ripetuto poi per tutte le altre derivate. La prima che non si annulla è la sesta, che infatti calcolata in $x=0$ vale $720$ e ti torna tutto con $i!$ ed $x^i$.

[lorenzo1234567]

"Mephlip":Perché $f'(0)=6x^5$? Hai che $f'(x)=6x^5 \cos(x^6)$ e dunque $f'(0)=6\cdot 0^5 \cos(0^6)=0$, questo errore viene ripetuto poi per tutte le altre derivate. La prima che non si annulla è quella di sesto grado, che infatti calcolata in $x=0$ vale $720$ e ti torna tutto con $i!$ ed $x^i$.

Per qualche motivo che non mi spiego sostituivo soltanto la funzione seno/coseno senza considerare tutte le altre $x$ della funzione . Grazie!!

[dissonance]

Comunque ti conviene sostituire in
\[
\sin y=y-\frac{y^3}{6} + O(y^5), \]
ponendo \(y=x^6\),
\[
\sin x^6 = x^6 -\frac{x^{18}}{6} + O(x^{30}).\]

[lorenzo1234567]

"dissonance":Comunque ti conviene sostituire in
\[
\sin y=y-\frac{y^3}{6} + O(y^5), \]
ponendo \(y=x^6\),
\[
\sin x^6 = x^6 -\frac{x^{18}}{6} + O(x^{30}).\]

Questa sostituzione è sempre consentita?
(Nello sviluppo di $sin(y)$ perchè c'è un $o(y^5)$ invece di $o(y^3)$? Se non mi sbaglio è di terzo ordine )

[LoreT314]

Attenzione, lui ha utilizzato $O$, O grande e non o piccolo come usavi tu.
Per le potenze si ha che dire $o((x−x_0)^n)$ per $x rarr x_0$ e dire $O((x−x_0)^(n+1))$ per $x rarr x_0$ è equivalente. Se però non ti piace l'O grande e vuoi usare il classico resto con l'o piccolo sappi che sostituzioni di quel tipo puoi farle praticamente sempre. Se volessi proprio essere sicuro e preciso puoi affidarti a questo teorema.
Se $f(y)=o(g(y))$ per $y rarr y_0$ e considero una funzione $h(x)$ tale che $lim_(x rarr x_0) h(x)=y_0$, se vale una tra queste due ipotesi
1. $h(x) != y_0, AAx != x_0$
oppure
2. $y_0 in dom(f)$ e $ f(y_0)=0$
allora $f(h(x))=o(g(h(x))$ per $x rarr x_0$
Quindi teoricamente dovresti verificare che valga almeno una tra queste due ipotesi. Ma poi nessuno lo fa mai alla fine, perchè affinchè non valga nessuna devi andare a prendere robe abbastanza strane che difficilmente troverai negli esercizi.
Nel nostro caso hai che $f(y)=sin y-y+y^3/6$ e che a questo punto se usiamo l'o piccolo $g(y)=y^4$ mentre $h(x)=x^6$
Ovviamente $lim_(x rarr 0) h(x)=0$ e inoltre valgono fortunatamente entrambe le ipotesi (ne bastava una).
Infatti $h(x) != 0, AAx !=0$ e pure $0 in dom(f)$ e $f(0)=0$

[lorenzo1234567]

"LoreT314":Attenzione, lui ha utilizzato $O$, O grande e non o piccolo come usavi tu.
Per le potenze si ha che dire $o((x−x_0)^n)$ per $x rarr x_0$ e dire $O((x−x_0)^(n+1))$ per $x rarr x_0$ è equivalente. Se però non ti piace l'O grande e vuoi usare il classico resto con l'o piccolo sappi che sostituzioni di quel tipo puoi farle praticamente sempre. Se volessi proprio essere sicuro e preciso puoi affidarti a questo teorema.
Se $f(y)=o(g(y))$ per $y rarr y_0$ e considero una funzione $h(x)$ tale che $lim_(x rarr x_0) h(x)=y_0$, se vale una tra queste due ipotesi
1. $h(x) != y_0, AAx != x_0$
oppure
2. $y_0 in dom(f)$ e $ f(y_0)=0$
allora $f(h(x))=o(g(h(x))$ per $x rarr x_0$
Quindi teoricamente dovresti verificare che valga almeno una tra queste due ipotesi. Ma poi nessuno lo fa mai alla fine, perchè affinchè non valga nessuna devi andare a prendere robe abbastanza strane che difficilmente troverai negli esercizi.
Nel nostro caso hai che $f(y)=sin y-y+y^3/6$ e che a questo punto se usiamo l'o piccolo $g(y)=y^4$ mentre $h(x)=x^6$
Ovviamente $lim_(x rarr 0) h(x)=0$ e inoltre valgono fortunatamente entrambe le ipotesi (ne bastava una).
Infatti $h(x) != 0, AAx !=0$ e pure $0 in dom(f)$ e $f(0)=0$

Molto esaustivo grazie