Sviluppo di Taylor di g(x)=f(x e^x)
Ciao!! Ho trovato quest'esercizio sullo sviluppo di Taylor che mi interesserebbe saper risolvere, ma non ho idea di come farlo, premetto che sono ancora un po' acerbo sull'argomento:
Sia \(\displaystyle f = f(t) \) una funzione reale di variabile reale tale che per \(\displaystyle t \rightarrow e \):
\(\displaystyle f(t)=1+2(t-e)+3(t-e)^2 +o((t-e)^2) \)
Scrivere la formula di Taylor di ordine 2 (con resto secondo Peano), calcolata nel punto \(\displaystyle x_0=1 \), della funzione:
\(\displaystyle g(x)=f(xe^x) \).
Allora, la prima equazione mi sembra un polinomio di Taylor per la variabile generica t, ma non capisco come si possa passare da \(\displaystyle t \rightarrow e \) al punto \(\displaystyle x_0=1 \), nè come debba essere lo sviluppo richiesto. Devo lavorare sul primo polinomio sostituendo \(\displaystyle t \) con \(\displaystyle t=xe^x \)? Ci ho provato con scarsi risultati... Grazie!!
Sia \(\displaystyle f = f(t) \) una funzione reale di variabile reale tale che per \(\displaystyle t \rightarrow e \):
\(\displaystyle f(t)=1+2(t-e)+3(t-e)^2 +o((t-e)^2) \)
Scrivere la formula di Taylor di ordine 2 (con resto secondo Peano), calcolata nel punto \(\displaystyle x_0=1 \), della funzione:
\(\displaystyle g(x)=f(xe^x) \).
Allora, la prima equazione mi sembra un polinomio di Taylor per la variabile generica t, ma non capisco come si possa passare da \(\displaystyle t \rightarrow e \) al punto \(\displaystyle x_0=1 \), nè come debba essere lo sviluppo richiesto. Devo lavorare sul primo polinomio sostituendo \(\displaystyle t \) con \(\displaystyle t=xe^x \)? Ci ho provato con scarsi risultati... Grazie!!
Risposte
Quando $x to 1$ hai che $xe^x$ ( ovvero l'argomento della $f$!) tende ad $e$, quindi tu ne conosci lo sviluppo per ipotesi.
Confermo che devi sostituire $x e^x$ alla variabile $t$. Dopo di che utilizza il noto sviluppo di $e^x$, che tanto vale per ogni $x$.
Paola
Confermo che devi sostituire $x e^x$ alla variabile $t$. Dopo di che utilizza il noto sviluppo di $e^x$, che tanto vale per ogni $x$.
Paola
Ok, grazie, ma quindi verrebbe così: \(\displaystyle f(xe^x)=1+2(xe^x-e)+3(xe^x-e)^2+o((xe^x-e)^2) \)
A questo punto uso lo sviluppo \(\displaystyle e^x = 1+ x +o(x) \) e
\(\displaystyle f(xe^x) = 1+2(x+x^2-e)+3(x+x^2-e)^2+o((x+x^2-e)^2 )\) ?? C'è qualcosa che non mi torna, e poi non dovrebbero esserci i termini \(\displaystyle (x - 1) \) e \(\displaystyle (x - 1)^2 \)?
A questo punto uso lo sviluppo \(\displaystyle e^x = 1+ x +o(x) \) e
\(\displaystyle f(xe^x) = 1+2(x+x^2-e)+3(x+x^2-e)^2+o((x+x^2-e)^2 )\) ?? C'è qualcosa che non mi torna, e poi non dovrebbero esserci i termini \(\displaystyle (x - 1) \) e \(\displaystyle (x - 1)^2 \)?
L'ho risolta, posto la soluzione se interessa a qualcuno, visto che qui non risponde nessuno:
Lo sviluppo richiesto è nella forma: \(\displaystyle g(x)= g(1)+g'(1) (x-1)+{g''(1) \over 2} (x-1)^2 + o((x-1)^2) \) quindi basta calcolare:
\(\displaystyle g(1) = f(e) = 1 \)
\(\displaystyle g'(x) = f'(xe^x) \cdot e^x(1+x) \) (derivazione della funzione composta) \(\displaystyle => g'(1)=f'(e)\cdot 2e = 4e \)
\(\displaystyle g''(x) = f''(xe^x) \cdot e^{2x} (1+x)^2 + e^x(x+2) \cdot f'(xe^x) => g''(1)=f''(e) \cdot 4e^2 + 3e \cdot f'(e)=12e^2 +6e\)
Lo sviluppo è quindi: \(\displaystyle g(x)=1+4e(x-1)+(6e^2+3e)(x-1)^2+o((x-1)^2) \)
Lo sviluppo richiesto è nella forma: \(\displaystyle g(x)= g(1)+g'(1) (x-1)+{g''(1) \over 2} (x-1)^2 + o((x-1)^2) \) quindi basta calcolare:
\(\displaystyle g(1) = f(e) = 1 \)
\(\displaystyle g'(x) = f'(xe^x) \cdot e^x(1+x) \) (derivazione della funzione composta) \(\displaystyle => g'(1)=f'(e)\cdot 2e = 4e \)
\(\displaystyle g''(x) = f''(xe^x) \cdot e^{2x} (1+x)^2 + e^x(x+2) \cdot f'(xe^x) => g''(1)=f''(e) \cdot 4e^2 + 3e \cdot f'(e)=12e^2 +6e\)
Lo sviluppo è quindi: \(\displaystyle g(x)=1+4e(x-1)+(6e^2+3e)(x-1)^2+o((x-1)^2) \)
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