Sviluppo di Taylor di funzione composta con funzione incognita

[lucads1]

Salve.
Sia $ f(x) $ definita in un intorno di $ x=e $ ,derivabile due volte in $ x=e $ e t.c. $ f(e)=-1 , f'(e)=-2 , f''(e)=2 $ . Scrivere la formula di Taylor al secondo ordine centrata in 1 di $ h(x)=f(xe^x) $ .

Risolvendo con due metodi diversi trovo un risultato differente, anche se molto simile.
Metodo 1)

$ h(x)=h(1)+h'(1)(x-1)+ (h''(1))/2(x-1)^2+o((x-1)^2) $

$ h(1)=f(e)=-1 $

$ h'(1)=2ef'(e)=-4e $

$ h''(1)=4e^2f''(e)+3ef'(e)=8e^2-6e $

Sostituendo nella formula di Taylor

$ h(x)=-1-4e(x-1)+(4e^2-3e)(x-1)^2+o((x-1)^2) $

Metodo 2)

Sviluppo al secondo ordine, centrata in 1, la funzione $ g(x)=xe^x $

$ g'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x) $

$ g''(x)=e^x(1+x)+e^x=e^x(2+x) $

$ g(x)=xe^x=g(1)+g'(1)(x-1)+(g''(1))/2(x-1)^2+o((x-1)^2) = e+2e(x-1)+3e(x-1)^2+o((x-1)^2) $

Sviluppo al secondo ordine, centrata in $ g(1)=e $, la funzione esterna incognita $ f(t) $

$ f(t)=f(e)+f'(e)(t-e)+(f''(e))/2(t-e)^2+o((t-e)^2)=-1-2(t-e)+(t-e)^2+o((t-e)^2) $

Con la sostituzione $ t=g(x)=xe^x $

$ h(x)=f(xe^x)=-1-2(e+2e(x-1)+3e(x-1)^2+o((x-1)^2)-e)+(e+2e(x-1)+3e(x-1)^2+o((x-1)^2)-e)^2+o((e+2e(x-1)+3e(x-1)^2+o((x-1)^2))^2)=-1-4e(x-1)-6e(x-1)^2+o((x-1)^2)+4e^2(x-1)^2+o((x-1)^2) =-1-4e(x-1)+(4e^2-6e)(x-1)^2+o((x-1)^2) $

Ricapitolando, il primo metodo mi fornisce come risultato

$ h(x)=-1-4e(x-1)+(4e^2-3e)(x-1)^2+o((x-1)^2) $

il secondo metodo mi fornisce

$ h(x)=-1-4e(x-1)+(4e^2-6e)(x-1)^2+o((x-1)^2) $

C'è una piccola differenza nel coefficiente del termine di secondo grado. Dove sta l'errore?

[sivepofo]

No $e+2e(x−1)+3e(x−1)^2+o((x−1)^2)$
Si $e+2e(x−1)+3/2e(x−1)^2+o((x−1)^2)$

[lucads1]

Grazie, mi era scappato un 2 sotto