Sviluppo di taylor della tangente
volevo sapere se uno conosce una dimostrazione del noto sviluppo di Taylor [tex]\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ per } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}[/tex]
Risposte
Non credo che questa sia la sezione giusta per postare questa domanda; inoltre: potresti specificare per chi potrebbe aiutarti chi sono i termini [tex]$B_{2n}$[/tex]!
Credo che quello sviluppo della tangente si ottenga con parecchi conti che non è il caso di fare.
Potresti provare a cercare su Knopp, Theory and Applications of Infinite Series.
I [tex]$B_{2n}$[/tex] sono i numeri di Bernoulli, credo.
Potresti provare a cercare su Knopp, Theory and Applications of Infinite Series.
I [tex]$B_{2n}$[/tex] sono i numeri di Bernoulli, credo.
dimmi solo se il mio approccio può essere utile oppure se lo devo lasciare perdere. Sviluppo la tangente, derivo sia lo sviluppo della tangente e sviluppo la derivata della tangente ossia sviluppo $1+tg(x)^2$ e provo a trovare delle relazioni...
Si l'approccio potrebbe essere corretto (io non ci ho mai provato, in realtà).
Però determinare i coefficienti della serie di Taylor/MacLaurin di [tex]$\tan^2 x$[/tex] in funzione di quelli della serie omologa per [tex]$\tan x$[/tex] è un po' rognoso.
Infatti, se [tex]$\tan x=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ x^n$[/tex], allora la serie di [tex]$\tan^2 x$[/tex] ha come coefficienti la successione che si ottiene come convoluzione di [tex]$(a_n)$[/tex] con se stessa; in altre parole si ha [tex]$\tan^2 x=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\ x^n$[/tex] se e solo se:
[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ \quad b_n=\sum_{k=0}^n a_k\ a_{n-k}$[/tex].
Se tieni presente che [tex]$a_0=0$[/tex], la precedente si semplifica un po' (perchè si tolgono due addendi) e diventa:
[tex]$b_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k\ a_{n-k}$[/tex]
però è comunque un bel casino (:lol:) però qualche relazione ricorrente dovrebbe uscirne fuori con qualche contazzo.
Prova e facci vedere cosa riesci a trarne.
Però determinare i coefficienti della serie di Taylor/MacLaurin di [tex]$\tan^2 x$[/tex] in funzione di quelli della serie omologa per [tex]$\tan x$[/tex] è un po' rognoso.
Infatti, se [tex]$\tan x=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ x^n$[/tex], allora la serie di [tex]$\tan^2 x$[/tex] ha come coefficienti la successione che si ottiene come convoluzione di [tex]$(a_n)$[/tex] con se stessa; in altre parole si ha [tex]$\tan^2 x=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\ x^n$[/tex] se e solo se:
[tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ \quad b_n=\sum_{k=0}^n a_k\ a_{n-k}$[/tex].
Se tieni presente che [tex]$a_0=0$[/tex], la precedente si semplifica un po' (perchè si tolgono due addendi) e diventa:
[tex]$b_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k\ a_{n-k}$[/tex]
però è comunque un bel casino (:lol:) però qualche relazione ricorrente dovrebbe uscirne fuori con qualche contazzo.
Prova e facci vedere cosa riesci a trarne.
"gugo82":
Credo che quello sviluppo della tangente si ottenga con parecchi conti che non è il caso di fare.
Potresti provare a cercare su Knopp, Theory and Applications of Infinite Series.
I [tex]$B_{2n}$[/tex] sono i numeri di Bernoulli, credo.
ma come: c'è scritto matematica discreta...
"gugo82":
Si l'approccio potrebbe essere corretto (io non ci ho mai provato, in realtà).
[tex]$b_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k\ a_{n-k}$[/tex]
proprio quella relazione avevo trovato, ma come dici tu, è un bel casino! in realtà si potrebbe provare a dimostrare per induzione che i nostri coefficienti soddisfano quella relazione. Se troverò la voglia e il tempo ci proverò.
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