Sviluppo di Taylor composizione di funzioni.

[StellaMartensitica]

Il problema è il seguente:
Sia $f in C^3(RR)$ una funzione tale che $f(1)=1$, $f'(1)=1$, $f''(1)=1$, $f'''(1)=-3$. Sia g la funzione definita da $g(x)=f(x^2)-[f(x)]^2 \forall x in RR$. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 centrato in $x=1$ della funzione g.

$g'(x)=2x*f'(x^2)-2*f(x)*f'(x)$,
$g'(1)=0$
$g''(x)=2*f'(x^2)+4x^2*f''(x^2)-2*[f'(x)]^2-2*f''(x)*f(x)$,
$g''(1)=2$.
$g'''(x)=2*2x*f''(x^2)+8x*f''(x^2)+2x*f'''(x^2)*4*x^2-4*f''(x)*f'(x)-2[f'''(x)*f(x)+f''(x)*f''(x)]$,
$g'''(1)=2*2*1+8*1+2*(-3)*4-4*1*1-2*(-3+1)$
$g'''(1)=4+8-24+4-4=-12$

$g(x)=0+0+(x-1)^2-2*(x-1)^3+o(x-1)^3$
Qualcuno può dirmi se ho ottenuto il risultato corretto ma sopratutto se è possibile fare meno calcoli applicando un altro metodo per questi esercizi così odiosi?

[anto_zoolander]

Penso che in questo caso i calcoli non si possono ridurre granché.
L'alternativa sarebbe quella di considerare

$f(x)=x+(x-1)^2/2-(x-1)^3/2+o(x^3)$

$f(x^2)=x^2+(x^2-1)^2/2-(x^2-1)^3/2+o(x^6)$

$f(x)^2=([x+(x-1)^2/2-(x-1)^3/2]+o(x^3))^2$

e che dall'unicità del polinomio di Taylor ti basta fare la differenza.
Non ho controllato del tutto i conti ma il procedimento è corretto.

$sin(x)=x-x^3/(3!)+o(x^3)$

$sin(x^2)=x^2-x^6/(3!)+o(x^6)=x^2+o(x^3)$

$sin^2(x)=(x-x^3/(3!))^2+2o(x^3)*(x-x^3/(3!))+o(x^6)=x^2+o(x^3)$

di fatto $sin(x^2)-sin^2(x)=o(x^3)$(puoi vedere che le prime tre derivate vengono nulle)

[StellaMartensitica]

Hai ragione. I calcoli da fare in questa tipologia di problema sono sempre tanti... Grazie.