Sviluppo di Taylor (arctan x)^4
Non ho ben capito come affrontare gli sviluppi di Taylor in alcune situazione. Ho ad esempio:
$f(x)=arctan^4(x)*log(1-x^2)$ di cui devo calcolare lo sviluppo di McLaurin di ordine $n=7$
Si tratta del prodotto di due funzioni, che posso quindi trattare singolarmente; ho iniziato dal logaritmo (ponendo $x^2=t$), il cui sviluppo risulta $-x^2-x^4/2-x^6/3$.
Bisognerebbe a questo punto calcolare lo sviluppo di $arctan^4(x)$ e moltiplicarlo per l'altro, ma non riesco proprio a capire come trattarlo. Sarebbe preferibile non utilizzare lo sviluppo notevole, ma far vedere i calcoli...avevo pensato di calcolare lo sviluppo dell'arcotangente per poi elevarlo alla quarta, ma credo sia improponibile e non riesco a capire neanche come arrivare allo sviluppo di ordine 7 dell'arcotangente, considerati i calcoli immensi che ci sarebbero da fare con le derivate. Qualche suggerimento?
$f(x)=arctan^4(x)*log(1-x^2)$ di cui devo calcolare lo sviluppo di McLaurin di ordine $n=7$
Si tratta del prodotto di due funzioni, che posso quindi trattare singolarmente; ho iniziato dal logaritmo (ponendo $x^2=t$), il cui sviluppo risulta $-x^2-x^4/2-x^6/3$.
Bisognerebbe a questo punto calcolare lo sviluppo di $arctan^4(x)$ e moltiplicarlo per l'altro, ma non riesco proprio a capire come trattarlo. Sarebbe preferibile non utilizzare lo sviluppo notevole, ma far vedere i calcoli...avevo pensato di calcolare lo sviluppo dell'arcotangente per poi elevarlo alla quarta, ma credo sia improponibile e non riesco a capire neanche come arrivare allo sviluppo di ordine 7 dell'arcotangente, considerati i calcoli immensi che ci sarebbero da fare con le derivate. Qualche suggerimento?
Risposte
Devi calcolare lo sviluppo di ordine 7 del prodotto delle funzioni, non di ogni funzione....
$arctan^4(x)$ ha come grado minimo il grado 4, quindi qualsiasi termine di grado maggiore di 3 nello sviluppo del logaritmo può essere eliminato: $ln(1-x^2)=-x^2$.
$arctan^4(x)=(x-x^3/3)^4$
Come detto il grado più piccolo di $(x-x^3/3)^4$ è $4$, che si ottiene moltiplicando tra loro le quattro $x$, il grado subito dopo più piccolo si ottiene moltiplicando tre $x$ e un $x^3$, ottenendo un termine di grado $6$, che moltiplicato per $-x^2$ del logaritmo da un termine di grado $8$, ossia superiore al grado del polinomio richiesto che è $7$, pertanto il polinomio richiesto è:
$arctan^4(x)ln(1-x^2)=-x^6+o(x^7)$
$arctan^4(x)$ ha come grado minimo il grado 4, quindi qualsiasi termine di grado maggiore di 3 nello sviluppo del logaritmo può essere eliminato: $ln(1-x^2)=-x^2$.
$arctan^4(x)=(x-x^3/3)^4$
Come detto il grado più piccolo di $(x-x^3/3)^4$ è $4$, che si ottiene moltiplicando tra loro le quattro $x$, il grado subito dopo più piccolo si ottiene moltiplicando tre $x$ e un $x^3$, ottenendo un termine di grado $6$, che moltiplicato per $-x^2$ del logaritmo da un termine di grado $8$, ossia superiore al grado del polinomio richiesto che è $7$, pertanto il polinomio richiesto è:
$arctan^4(x)ln(1-x^2)=-x^6+o(x^7)$
In realtà è più semplice di quanto pensi.
Hai che
\[
\arctan(x) = x + o(x^2)
\]
(nello sviluppo non c'è il termine del secondo ordine), quindi
\[
\arctan^4(x) = x^4 + o(x^5).
\]
Analogamente
\[
\log(1-x^2) = -x^2 + o(x^3).
\]
Di conseguenza
\[
f(x) = (x^4 + o(x^5)) \cdot (-x^2 +o(x^3)) = -x^6 + o(x^7).
\]
(In particolare, il coefficiente del termine \(x^7\) dello sviluppo è \(0\).)
Hai che
\[
\arctan(x) = x + o(x^2)
\]
(nello sviluppo non c'è il termine del secondo ordine), quindi
\[
\arctan^4(x) = x^4 + o(x^5).
\]
Analogamente
\[
\log(1-x^2) = -x^2 + o(x^3).
\]
Di conseguenza
\[
f(x) = (x^4 + o(x^5)) \cdot (-x^2 +o(x^3)) = -x^6 + o(x^7).
\]
(In particolare, il coefficiente del termine \(x^7\) dello sviluppo è \(0\).)
Okay credo di aver capito, grazie mille!
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