Sviluppo di Taylor
Salve,
ho un dubbio sullo sviluppo di Taylor.
Da quello che so l'n nella sommatoria (che serve a sviluppare il polinomio di Taylor) è a scelta di chi utilizza questo strumento. Fissato un punto x0, aumentando n (cioè il grado del polinomio) aumenta anche il grado d'appromisazione del polinomio. Fin qui tutto ok.
Inoltre se ci si aggiunge al polinomio il resto espresso con la formula di Peano (o(x^n)), i polinomi di Taylor risultato utili per risolvere limiti complessi.
Quello che io mi chiedo... fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo?
Faccio un esempio che non riesco a risolvere:
$lim (sinx-tanx+7x^(5/2)) / (x^alpha(e^(2x) - 1) $
(per x-->0 non riesco a scriverlo!)
Il testo dell'esercizio chiede di calcolare per quali valori di alpha>0 il limite è finito, diverso da 0.
Oppure
$lim (sinx-tanx+1/2x^3+1/4x^4)/((log(x^2+1))^alpha + x^(2*alpha))$
Anche qui per x-->0.
Il testo è: Si calcoli al variare di $alpha$>0 il seguente limite.
Grazie mille
Ciao
Enea
ho un dubbio sullo sviluppo di Taylor.
Da quello che so l'n nella sommatoria (che serve a sviluppare il polinomio di Taylor) è a scelta di chi utilizza questo strumento. Fissato un punto x0, aumentando n (cioè il grado del polinomio) aumenta anche il grado d'appromisazione del polinomio. Fin qui tutto ok.
Inoltre se ci si aggiunge al polinomio il resto espresso con la formula di Peano (o(x^n)), i polinomi di Taylor risultato utili per risolvere limiti complessi.
Quello che io mi chiedo... fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo?
Faccio un esempio che non riesco a risolvere:
$lim (sinx-tanx+7x^(5/2)) / (x^alpha(e^(2x) - 1) $
(per x-->0 non riesco a scriverlo!)
Il testo dell'esercizio chiede di calcolare per quali valori di alpha>0 il limite è finito, diverso da 0.
Oppure
$lim (sinx-tanx+1/2x^3+1/4x^4)/((log(x^2+1))^alpha + x^(2*alpha))$
Anche qui per x-->0.
Il testo è: Si calcoli al variare di $alpha$>0 il seguente limite.
Grazie mille
Ciao
Enea
Risposte
(Non mi far far i calcoli ...ti rispondo solo alla teoria)
Chiedi «.. fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo? »
Il concetto è semplice, anche se non mi riesce trovare subito un'enunciato che lo sia. Per spiegare in modo più chiaro semplifico il problema (ma il concetto nel caso generale è del tutto analogo): mi limito al limite per x che tende a zero.
Inoltre introduco una notazione “di servizio” (cioè non ufficiale, ma che vale solo ora, qui, e per noi): data una somma di un polinomio e di un infinitesimo chiamo "ordine complessivo" il minore fra il grado del polinomio e l'ordine dell'infinitesimo, e dico che tale somma "ha grado certo" se l'infinitesimo è di ordine maggiore del grado del polinomio.
Allora per calcolare il limite del rapporto fra somme di "espressioni" si può operare così:
Si sostituisce ad ogni espressione (nel tuo caso goniometrica) la somma di un polinomio e di un infinitesimo "maggiore o uguale" o "maggiore" di un certo ordine (Taylor).
Dopo aver semplificato ottieni un'espressione del tipo: rapporto fra somme di un polinomio e di un infinitesimo.
Se numeratore e denominatore hanno grado certo il limite cercato è il limite del rapporto fra i polinomi (di fatto non consideri gli infinitesimi).
Se il denominatore ha grado certo e questo è minore del grado complessivo del numeratore il limite cercato è 0.
Se numeratore ha grado certo e questo è maggiore del grado complessivo del denominatore il limite cercato è infinito.
(Puoi specificare il segno, ma per questo non dovresti avere problemi.)
Negli altri casi (salvo errori) con il rapporto semplificato non sei in grado di calcolare il limite.
Quindi la risposta alla domanda «.. fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo? » è:
Le funzioni si sviluppano finché si ottengono numeratore e denominatore che abbiano grado certo, oppure che verifichino quanto richiesto sopra.
Spero di essere stato chiaro (e di non essermi annodato e aver detto “sfondoni”).
Chiedi «.. fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo? »
Il concetto è semplice, anche se non mi riesce trovare subito un'enunciato che lo sia. Per spiegare in modo più chiaro semplifico il problema (ma il concetto nel caso generale è del tutto analogo): mi limito al limite per x che tende a zero.
Inoltre introduco una notazione “di servizio” (cioè non ufficiale, ma che vale solo ora, qui, e per noi): data una somma di un polinomio e di un infinitesimo chiamo "ordine complessivo" il minore fra il grado del polinomio e l'ordine dell'infinitesimo, e dico che tale somma "ha grado certo" se l'infinitesimo è di ordine maggiore del grado del polinomio.
Allora per calcolare il limite del rapporto fra somme di "espressioni" si può operare così:
Si sostituisce ad ogni espressione (nel tuo caso goniometrica) la somma di un polinomio e di un infinitesimo "maggiore o uguale" o "maggiore" di un certo ordine (Taylor).
Dopo aver semplificato ottieni un'espressione del tipo: rapporto fra somme di un polinomio e di un infinitesimo.
Se numeratore e denominatore hanno grado certo il limite cercato è il limite del rapporto fra i polinomi (di fatto non consideri gli infinitesimi).
Se il denominatore ha grado certo e questo è minore del grado complessivo del numeratore il limite cercato è 0.
Se numeratore ha grado certo e questo è maggiore del grado complessivo del denominatore il limite cercato è infinito.
(Puoi specificare il segno, ma per questo non dovresti avere problemi.)
Negli altri casi (salvo errori) con il rapporto semplificato non sei in grado di calcolare il limite.
Quindi la risposta alla domanda «.. fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo? » è:
Le funzioni si sviluppano finché si ottengono numeratore e denominatore che abbiano grado certo, oppure che verifichino quanto richiesto sopra.
Spero di essere stato chiaro (e di non essermi annodato e aver detto “sfondoni”).
Ti ringrazio della risposta, ma alcuni punti restano oscuri!
Allora, comincio subito:
In che senso sostituire l'espressione con la somma di un polinomio e di un infinitesimo? Cioè, oltre a sviluppare il polinomio di Taylor con il resto di Peano di sin(x) (ad esempio) devo aggiungere anche un infinitesimo (es. x^3?)? Oppure l'infinitesimo a cui ti riferisci è proprio l'o(x^n)?
Ok, ma se oltre alle funzioni da sviluppare ho anche altri termini (come nell'esempio) tipo x^4? Sviluppo fino a x^3 il sin(x) in modo tale che la somma del polinomio di Taylor per il sin(x) più il termine x^4 presente abbia grado certo?
Grazie ancora
Ciao
Enea
Allora, comincio subito:
Si sostituisce ad ogni espressione (nel tuo caso goniometrica) la somma di un polinomio e di un infinitesimo "maggiore o uguale" o "maggiore" di un certo ordine (Taylor).
In che senso sostituire l'espressione con la somma di un polinomio e di un infinitesimo? Cioè, oltre a sviluppare il polinomio di Taylor con il resto di Peano di sin(x) (ad esempio) devo aggiungere anche un infinitesimo (es. x^3?)? Oppure l'infinitesimo a cui ti riferisci è proprio l'o(x^n)?
Le funzioni si sviluppano finché si ottengono numeratore e denominatore che abbiano grado certo, oppure che verifichino quanto richiesto sopra.
Ok, ma se oltre alle funzioni da sviluppare ho anche altri termini (come nell'esempio) tipo x^4? Sviluppo fino a x^3 il sin(x) in modo tale che la somma del polinomio di Taylor per il sin(x) più il termine x^4 presente abbia grado certo?
Grazie ancora
Ciao
Enea
Si possono evitare lunghi e dubbi sviluppi in serie ricorrendo ,almeno in
questo caso, ai limiti notevoli in modo da separare dal limite le parti finite
da quelle variabili.
1° esercizio.
Si puo' scrivere:
$L=lim_(x->0)[1/2*tanx/x*(cosx-1)/(x^2)*(2x)/(e^(2x)-1)*x^(2-a)+7/2*(2x)/(e^(2x)-1)*x^((3/2-a))]$
Ovvero:
$L=-1/4*lim_(x->0)x^(2-a)+7/2*lim_(x->0)x^((3/2-a))$
Pertanto:
$a<3/2->L=0;a=3/2->L=7/2;a>3/2->L=oo$
Percio' il limite e' finito e non nullo solo per $a=3/2$
2° esercizio.
Si puo' scrivere:
$L=lim_(x->0)(sinx-tanx+1/2x^3+1/4x^4)/[x^(2a)[(log(x^2+1)/(x^2))^a+1])=lim_(x->0)(sinx-tanx+1/2x^3+1/4x^4)/[2x^(2a)]$
Cioe':
$L=1/2lim_(x->0)[(tanx/x*(cosx-1)/(x^2)+1/2+1/4x)x^(3-2a)]$
Quindi:
$0L=0;a>3/2->L=oo$
Archimede
questo caso, ai limiti notevoli in modo da separare dal limite le parti finite
da quelle variabili.
1° esercizio.
Si puo' scrivere:
$L=lim_(x->0)[1/2*tanx/x*(cosx-1)/(x^2)*(2x)/(e^(2x)-1)*x^(2-a)+7/2*(2x)/(e^(2x)-1)*x^((3/2-a))]$
Ovvero:
$L=-1/4*lim_(x->0)x^(2-a)+7/2*lim_(x->0)x^((3/2-a))$
Pertanto:
$a<3/2->L=0;a=3/2->L=7/2;a>3/2->L=oo$
Percio' il limite e' finito e non nullo solo per $a=3/2$
2° esercizio.
Si puo' scrivere:
$L=lim_(x->0)(sinx-tanx+1/2x^3+1/4x^4)/[x^(2a)[(log(x^2+1)/(x^2))^a+1])=lim_(x->0)(sinx-tanx+1/2x^3+1/4x^4)/[2x^(2a)]$
Cioe':
$L=1/2lim_(x->0)[(tanx/x*(cosx-1)/(x^2)+1/2+1/4x)x^(3-2a)]$
Quindi:
$0
Archimede
"Enea":
...
Oppure l'infinitesimo a cui ti riferisci è proprio l'o(x^n)?
Si, è proprio lui.
Per esempio: sen(x) = x + o(x) =x-x³/6 +o(x³)
...
Ok, ma se oltre alle funzioni da sviluppare ho anche altri termini (come nell'esempio) tipo x^4? Sviluppo fino a x^3 il sin(x) in modo tale che la somma del polinomio di Taylor per il sin(x) più il termine x^4 presente abbia grado certo?
Se ho ben capito quello che chiedi: sì.
Ovviamente il prodotto di un monomio di grado n e di un infinitesimo di ordine m (per x che tende a 0) è un infinitesimo di ordine (n+m).
Per Archimede:
Il suggerimento è senz'altro utile in moltissimimi casi per risolvere in modo più semplice e rapido limiti analoghi.
Però Enea ha scritto «Inoltre se ci si aggiunge al polinomio il resto espresso con la formula di Peano (o(x^n)), i polinomi di Taylor risultato utili per risolvere limiti complessi.
Quello che io mi chiedo... fino a che n vanno sviluppate le funzioni presenti nel limite per risolverlo?
Faccio un esempio che non riesco a risolvere: .......»
Il mio era solo un procedimento alternativo e non sostitutivo.
Come si dice:"Piu' si sa ,meglio si sa...."
Personalmente non mi sarei mai sognato di trovare (e discutere !) i limiti
proposti da Enea con gli sviluppi in serie, benche' questi ultimi siano la via piu'
comune in certi casi.
Ritengo infatti che,data la struttura degli esercizi ,fosse proprio intenzione dell'autore
spingere si' ad usare Taylor ma con un minimo di semplificazione ,in modo da non
incappare in kilometrici sviluppi in serie.
Archimede
Come si dice:"Piu' si sa ,meglio si sa...."
Personalmente non mi sarei mai sognato di trovare (e discutere !) i limiti
proposti da Enea con gli sviluppi in serie, benche' questi ultimi siano la via piu'
comune in certi casi.
Ritengo infatti che,data la struttura degli esercizi ,fosse proprio intenzione dell'autore
spingere si' ad usare Taylor ma con un minimo di semplificazione ,in modo da non
incappare in kilometrici sviluppi in serie.
Archimede
"infinito":
...
Ok, ma se oltre alle funzioni da sviluppare ho anche altri termini (come nell'esempio) tipo x^4? Sviluppo fino a x^3 il sin(x) in modo tale che la somma del polinomio di Taylor per il sin(x) più il termine x^4 presente abbia grado certo?
Se ho ben capito quello che chiedi: sì.
Ovviamente il prodotto di un monomio di grado n e di un infinitesimo di ordine m (per x che tende a 0) è un infinitesimo di ordine (n+m).
Eh eh eh, allora cerco di spiegarmi meglio.
Considera il primo esercizio, ossia quello che ha come numeratore $sinx-tanx+7x^(5/2)$. Io devo sviluppare sin(x) e tan(x) come polinomi di Taylor ed esprimere il resto con l'o-piccolo, fin qui no problem.
Quello che chiedevo nella parte da te citata è in sostanza questo: io devo fare in modo che l'ordine dell'o-piccolo sia maggiore o uguale di $x^(5/2)$, ossia del termine presente (oltre alle funzioni goniometriche) a numeratore?
Postilla conclusiva a infinito:
Per esempio: sen(x) = x + o(x) =x-x³/6 +o(x³)
Da quello che mi ricordo abbia detto il mio professore, per maggiore correttezza andava messo o(x^4), perchè anche se l'ultimo termine con coefficiente diverso da 0 è x^3, c'è anche il termine x^4 di coefficiente pari a 0!
@ Archimede
Grazie per la soluzione alternativa! Comunque come noti giustamente tu, intenzione dell'autore era proprio quella di spingerci ad usare lo sviluppo di Taylor come mostra nella soluzione dell'esercizio (in cui proprio quello che ho chiesto era quello che non mi era chiaro!).
Grazie mille ad entrambi
Ciao
Enea
Up!
Ciao
Enea
Ciao
Enea
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo